درصد، نسبت و مسئله‌های کلامی با قید عدد صحیح

ترجمهٔ کمّی مسئله (quantitative translation) یعنی پیش از محاسبه، هر شرط کلامی را به معادله یا نامساوی تبدیل کنیم. مجهول‌ها را با واحدشان مشخص کنید، تغییرها و ثابت‌ها را جدا کنید و کمیت خواسته‌شده را مستقل بنویسید. در مسئلهٔ شمارش اشیا، نامنفی و صحیح‌بودن مقادیر جزئی از مدل است؛ جواب اعشاری، تعداد مجاز اشیا نیست.

۱. مبنا و نوع تغییر را تعیین کنید

در محاسبهٔ سهم، مخرج همان کلِ مشخص‌شده در سؤال است. در درصد تغییر، مخرج مقدار اولیه است. افزایش و سپس کاهش به درصد یکسان، مبناهای متفاوت دارند: $1.2\times0.8=0.96$؛ پس افزایش بیست‌درصدی و سپس کاهش بیست‌درصدی، ۹۶ درصد مقدار اولیه را باقی می‌گذارد.

اگر دو طول اولیه برابر باشند و از یکی کسر $p$ و از دیگری طول ثابت $c$ کم شود، نسبت نهایی $a:b$ رابطهٔ زیر را می‌دهد:

در اینجا $p$ به صورت کسر است، نه عدد درصد. مثبت‌بودن هر دو باقی‌مانده و تطابق ترتیب آن‌ها با نسبت داده‌شده را کنترل کنید.

نسبت‌های مستقل، باقی‌مانده و انتقال

هر جفت نسبت مستقل، ضریب مستقل می‌خواهد: $A:B=2:3$ و $C:D=2:5$ یعنی $A=2u,B=3u,C=2v,D=5v$، نه $u=v$. یک کل و یک جمع جزئی میان دو جفت می‌تواند هر دو ضریب را تعیین کند. برای $A+B+C+D=120$ و $A+C=40$، روابط $5u+7v=120$ و $2u+2v=40$ را حل کنید؛ نتیجهٔ $u=v=10$ از معادلات می‌آید، نه از تکرار عدد نسبت.

برای موجودی بنویسید: مقدار اولیه = مصرف‌شده + استفاده‌نشده. اگر کسر $f$ از اصل برداشته شود و سپس همان مقدار مطلق از باقی‌مانده بردارند، کسر دوم $f/(1-f)$ است. ترتیب سهم‌های نهایی ممکن است نامعلوم باشد: در $2:5:3$، برداشت اولیهٔ نصف اصل، قطعهٔ ۵واحدی را مشخص می‌کند؛ دو قطعهٔ دیگر $2/5$ و $3/5$ از باقی‌مانده‌اند. پیش از تحمیل ترتیب، قطعهٔ معلوم را شناسایی کنید.

برای حجم پُر $F$ و فضای خالی $E$، یک افزایش $d$ که مقدار پُر را به نسبت $p$ زیاد و فضای خالی را به نسبت $q$ کم کند، می‌دهد $d=pF=qE$. اگر $p=0.10,q=0.15$، آنگاه $F:E=3:2$ است، نه $10:15$. با وارونه‌شدن انتقال، بخش افزاینده نیز عوض می‌شود. «دوباره همان مقدار» تکرار $d$ است؛ «دوباره همان درصد» مبنای تازه دارد.

برای برش ثابت $c$ از طول اولیهٔ $L$، مقدار پیش از مرحلهٔ $n$ برابر $L-(n-1)c$ است؛ برای برش کسریِ تکراری $p$، این مقدار $L(1-p)^{n-1}$ است. وجود طول کافی برای برش را کنترل کنید. آستانهٔ اکید $n>r$ از $\lfloor r\rfloor+1$ آغاز می‌شود، حتی اگر $r$ صحیح باشد. مثلاً بریدن ۱۰ از ۱۰۰ نخست وقتی از یک‌چهارم طولِ پیش از برش بیشتر می‌شود که $10>\frac14(100-10(n-1))$؛ پس $n>7$: مرحلهٔ ۸ درست است و مرحلهٔ ۷ برابری می‌دهد.

برای جرم کل $M$ و سهم حل‌شوندهٔ $s$، افزودن حل‌شوندهٔ خالص $x$ می‌دهد $(sM+x)/(M+x)=t$ و افزودن حلال خالص می‌دهد $sM/(M+x)=t$. برای $M=60,s=1/5,t=1/3$، مقدار $x=12$ با $24/72=1/3$ کنترل می‌شود. واحدهای جرم یکسان باشند؛ محاسبهٔ حجمی فرض جمع‌پذیری حجم می‌خواهد. جایگزینی $x$ از مخلوط همگن با جرم برابرِ حل‌شوندهٔ خالص، کل را $M$ نگه می‌دارد: رابطهٔ $s(M-x)+x=tM$ را با $0\le x\le M$ به کار ببرید. از هر واحد حذف‌شده، کسر $s$ حل‌شونده است؛ حذف، حلال خالص نیست.

۲. ظرفیت و بهترین عدد صحیح مجاز

فرض کنید هر پروندهٔ کوچک سه درصد و هر پروندهٔ بزرگ هفت درصد بسته‌ای را مصرف کند و تعداد کوچک‌ها هشت عدد بیشتر باشد. تعدادها را $s$ و $\ell$ می‌نامیم. برای ظرفیت صددرصدی داریم:

پس $\ell\le7.6$ و بزرگ‌ترین عدد صحیح مجاز $\ell=7$ است که $s=15$ را می‌دهد. تعداد کل $s+\ell=2\ell+8$ با $\ell$ افزایش می‌یابد؛ بنابراین همین ترکیب، بیشترین تعداد کل را نیز دارد. مصرف برابر $3\times15+7\times7=94$ درصد است. ترکیب مجاز بعدی $3\times16+7\times8=104$ درصد مصرف می‌کند و پذیرفتنی نیست. هم جواب مجاز و هم همسایهٔ بعدی آن بررسی شدند.

اگر خالی‌ماندن ظرفیت مجاز است، نامساوی بنویسید و مصرف کامل را تحمیل نکنید. اگر جهت اختلاف مشخص نیست، پیش از انتخاب رابطه هر دو حالت را بررسی کنید. برای کران بالای تعداد، گردکردن به پایین مناسب است؛ کران پایین ممکن است گردکردن به بالا بخواهد.

ابزارهای عدد صحیح: کران فقط نخستین صافی است

برای توزیع ۸۴ دفتر و ۶۰ مداد داریم $n\mid\gcd(84,60)=12$. شرط کمتر از ۱۵ قلم برای هر نفر می‌دهد $144/n<15$ و در نتیجه $n>9.6$؛ تنها مقسوم‌علیه باقی‌مانده $n=12$ است و هر نفر ۷ دفتر و ۵ مداد می‌گیرد.

برای بسته‌های ۴، ۶ و ۹تایی با کل ۴۹ و حداقل یکی از هر نوع، $N\ge\lceil49/9\rceil=6$. شش بسته، کمبود $54-49=5$ می‌خواهد، ولی بسته‌های اجباری ۴ و ۶تایی نسبت به ۹تایی از قبل $5+3=8$ کمبود دارند. هفت بسته ممکن است: یک ۴تایی، سه ۶تایی و سه ۹تایی جمعاً ۴۹ می‌شوند. کران پایین همراه با ساخت جواب، کمینه را ثابت می‌کند.

پیش از بهینه‌سازی، دامنه را بنویسید. در $5x+3y=45$، بیشینه‌کردن $x$ میان اعداد صحیح نامنفی می‌دهد $x=9,y=0$؛ اگر هر دو دسته مثبت باشند، پاسخ $x=6,y=5$ است. فقط برای رسیدن به گزینهٔ دلخواه، شرط مثبت‌بودن نیفزایید. در کفایت داده‌ها، حالت‌های مجاز و کمیت خواسته‌شده را بررسی کنید؛ چند حالت ممکن است یک مقدار هدف بدهند. قیود ترکیبی ناسازگار هیچ حالت مجازی نمی‌دهند و اثبات عادیِ پاسخ یکتا نیستند؛ از آزمون‌های مستقل کارت کفایت داده‌ها استفاده کنید.

۳. معکوس‌کردن نسبت با حذف فقط یک نوع

نسبت اولیه را به اعداد صحیح مثبت و نسبت‌به‌هم‌اول $a:b$ با شرط $a<b$ ساده کنید. ابتدا $A=ak$ و $B=bk$ است و $k$ عدد صحیح مثبت است. فقط از اشیای B حذف می‌کنیم و A ثابت می‌ماند. برای معکوس‌شدن نسبت به $b:a$، تعداد باقی‌ماندهٔ B باید چنین باشد:

چون $a$ و $b$ نسبت‌به‌هم اول‌اند، صحیح‌بودن تعداد مستلزم $b\mid k$ است. کوچک‌ترین ضریب $k=b$ و کوچک‌ترین کل اولیه $b(a+b)$ خواهد بود. حذف نیز امکان‌پذیر است، زیرا $a<b$ تضمین می‌کند تعداد باقی‌ماندهٔ B از تعداد اولیه‌اش کمتر باشد.

مثلاً برای نسبت اولیهٔ $3:5$، ضریب $k=5$ را می‌گیریم. تعدادها ۱۵ و ۲۵ است؛ از نوع دوم ۱۶ عدد حذف می‌کنیم تا ۹ عدد بماند. آنگاه $15:9=5:3$ و کل اولیه ۴۰ است. بخش‌پذیری کل بر ۸ کافی نیست؛ تعداد باقی‌مانده هم باید صحیح باشد. اگر به جای حذف، اضافه‌کردن مطرح باشد یا هر دو نوع تغییر کنند، معادلهٔ تازه بنویسید؛ این میان‌بر فرض‌های معینی دارد.

گروه‌های متغیر، سن و حساب پول

هر صورت و مخرجِ متأثر از تغییر را به‌روز کنید. از گروه‌های $2k,3k,k$، اگر ۱۲ عضو گروه آخر هرکدام همراه یک عضو گروه میانی بروند، سهم تازهٔ گروه آخر $(k-12)/(6k-24)$ است، نه $(k-12)/(6k-12)$. تعدادهای باقی‌مانده و وجود همراه کافی را کنترل کنید. نسبت ظرفیت‌ها و نسبت محتویات نیز ضرایب مستقلی می‌خواهند که با بقای کل محتویات و کران ظرفیت‌ها مرتبط می‌شوند.

در مسئلهٔ سن، در زمان علامت‌دار $t$ نسبت به اکنون، $P(t)=P+t$ و $C(t)=C+t$ است؛ اختلاف $P-C$ ثابت می‌ماند ولی نسبت تغییر می‌کند. گروه ثابتی از $m$ عضو زنده، در بازه‌ای که همهٔ سن‌ها تعریف شده‌اند، مجموع سن $S(t)=S+mt$ دارد. اختلاف مجموع سن دو گروه ثابت $D(t)=D+(m_1-m_2)t$ است. سن فعلی، کل عمر و عمر باقی‌مانده را جدا کنید؛ فاصلهٔ زمانی از مرگ، جای یک رویداد را تعیین می‌کند، نه سن فعلی همه را.

در فساد کالا و افزایش قیمت، برای تعداد خرید $q_i$، بهای خرید $c_i$، کسر فاسدشدهٔ $r_i$ و نرخ افزایش قیمت $h_i$، هزینهٔ کامل $C=\sum_iq_ic_i$، درآمد $R=\sum_iq_i(1-r_i)c_i(1+h_i)$ و سود $R-C$ است. خرید ۸۰ کالا به بهای ۵، فساد یک‌چهارم و فروش بقیه با افزایش بیست‌درصدی می‌دهد $C=400,R=360$؛ یعنی زیان ۴۰. کالای فاسدشده همچنان در هزینه حساب می‌شود.

در شراکت با سهم مساوی، ابتدا سهم نهایی هر نفر و سپس مازاد هر تأمین‌کننده بر سهم خودش را بیابید. اگر دو نفر ۵ و ۷ واحد تأمین کنند و سه شریک مساوی سهم ببرند، هرکدام ۴ نگه می‌دارند؛ تازه‌وارد به اولی ۱ و به دومی ۳ بدهکار است. نسبت بدهی $1:3$ است، نه $5:7$. اگر مازاد یکی منفی باشد، او نیز به تأمین مالی نیاز دارد؛ کسری را آوردهٔ مثبت ننامید.

۴. قطار متوقف: طول را افراز کنید، نه زمان را

وقتی قطار سراسر تونل را پوشانده است، طول آن را به سه بخش جدا تقسیم کنید: هنوز واردنشده، داخل تونل و خارج‌شده از انتهای تونل. برای طول قطار $L$، طول تونل $T$ و سهم‌های بیرونی $f$ و $g$ داریم:

مثلاً اگر $L=4T$ و پانزده درصد هنوز وارد نشده باشد، $g=1-0.15-0.25=0.60$؛ یعنی شصت درصد خارج شده است. بررسی کنید که قطار واقعاً هر دو دهانه را پوشانده باشد؛ وگرنه طول بخش داخل لزوماً $T$ نیست. در یک تصویر ایستا، سرعت لازم نیست.

۵. اطلاعات محیط را ابتدا به عرض تبدیل کنید

نواری با عرض $w$ که تمام ارتفاع مربعِ ضلع $s$ را دارد، دارای محیط $2(s+w)$ است. اگر این محیط کسر $r$ از محیط اولیهٔ $4s$ باشد، داریم:

سهم مساحت نیز $w/s$ است، زیرا ارتفاع نوار $s$ است. پس دو نوار جدا با نسبت‌های محیط ۰٫۶۵ و ۰٫۶۰، سهم عرض $0.30$ و $0.20$ دارند. سهم مساحت باقی‌مانده $1-0.30-0.20=0.50$ است. برای کنترل عددی، ضلع را ده می‌گیریم: عرض‌ها سه و دو، محیط نوارها ۲۶ و ۲۴ در برابر محیط مربع ۴۰، و مساحت باقی‌مانده ۵۰ از ۱۰۰ است.

ارتفاع مشترک شرط اساسی است. در شکل‌های متشابه، نسبت مساحت برابر مربع نسبت طول است. نسبت محیط مستقیماً سهم مساحت حذف‌شده نیست؛ محیط بیرونی اولیه نیز میان محیط نوارهای تازه افراز نمی‌شود، زیرا برش لبه‌های تازه ایجاد می‌کند.

۶. عملیات تکراری: شمارنده‌ها را جدا نگه دارید

برای قاعدهٔ «عدد صحیح مثبت زوج را نصف کنید؛ از عدد فرد فقط در صورت نامنفی‌ماندن نتیجه سه واحد کم کنید»، حالت و شمار هر دو عمل را ثبت کنید. در صفر یا در عدد فرد مثبتی که تفریق از آن ممنوع است، توقف کنید. فرض نکنید هر عدد اولیه به صفر می‌رسد.

مجموع‌ها $m=4$ و $n=2$ است؛ پس $m-n=2$. تقسیم بر $2^3$ خلاصهٔ سه گام مجاز است، نه یک گام. هر حرکت مجاز، حالت مثبت را کاهش می‌دهد؛ بنابراین فرایند متوقف می‌شود. نصف‌کردن‌ها را با توان دو گروه‌بندی کنید، اما پیش از هر بلوک تازه شرط توقف را اعمال کنید.

نکتهٔ کنکوری: یک خط برای مدل و یک خط برای کنترل بنویسید: مبنا و واحد، اعداد صحیح مجاز، جواب پیشنهادی و اگر بیشینه یا کمینه خواسته شده، حالت مجاور آن.

تلهٔ رایج: مخرج نادرست، نادیده‌گرفتن بخش‌پذیری در معکوس‌کردن نسبت، یکی‌گرفتن درصد محیط و مساحت، و ادامه‌دادن در صفر همگی از گم‌کردن معنای کمیت هنگام دست‌کاری عدد آن ناشی می‌شوند.