هندسهٔ مسطحه: طول‌ها، نسبت مساحت‌ها و قیود مختصاتی

پیش از مساحت، طول‌ها را مدل کنید

مسائل هندسهٔ مسطحه (Plane geometry) با بیان همهٔ طول‌ها برحسب یک ضلع مرجع کوتاه می‌شوند. اگر فقط نسبت خواسته شده، آن ضلع را $1$ بگیرید؛ اگر جابه‌جایی برحسب سانتی‌متر داده شده، متغیر دارای بُعد را نگه دارید. پیش از نوشتن معادلهٔ مساحت، دو سر واقعی هر پاره‌خط را مشخص کنید.

وترِ متصل‌کنندهٔ انتهای دو شعاع عمود، طول $r\sqrt2$ دارد. به‌طور کلی، طول وتر با زاویهٔ مرکزی $\theta$ برابر $2r\sin(\theta/2)$ است. پیش از استفاده از مساحت کامل قطاع، بررسی کنید که قطاع واقعاً در شکلِ دربرگیرنده جا می‌گیرد.

تغییر مقیاس و تغییر شکل

در شکل‌های متشابه، ضریب طول $k$، محیط را در $k$ و مساحت را در $k^2$ ضرب می‌کند. بنابراین ریشهٔ دوم مثبتِ نسبت مساحت‌ها، نسبت ضلع‌های متناظر است. در شکل‌های متفاوت ابتدا ابعاد هر شکل را جداگانه بیابید.

مثال کوتاه: ضلع‌های مستطیلی $2k,3k$ است. محیط مربعی یک‌پنجم محیط مستطیل است. پس $P=10k$، $4s=2k$ و $s=k/2$. نسبت مساحت مربع به مستطیل $(k^2/4)/(6k^2)=1/24$ است. مجذورکردن مستقیم نسبت محیط‌ها، به‌اشتباه $1/25$ می‌دهد.

اگر ضلع‌های مستطیل با ضرایب $\alpha,\beta$ تغییر کنند، ضریب مساحت $\alpha\beta$ است. مربع‌شدن شرط $\alpha L=\beta W$ را نیز می‌افزاید. مثلاً ضرایب $3/4$ و $4/3$، مستطیلی با نسبت ابعاد $L/W=16/9$ را با حفظ مساحت به مربع تبدیل می‌کنند، زیرا $(3/4)(4/3)=1$.

قاب مرکب، نوارها و قسمت‌های سایه‌زده

قاب مستطیلی چرخان. چهار مستطیل هم‌اندازه درون مربعی به ضلع $L$، پیرامون مربع مرکزی، آرایش فرفره‌ای دارند. اگر ضلع کوتاه مستطیل $w$ باشد، ضلع بلند آن $L-w$ و ضلع مربع مرکزی $L-2w$ است. اگر سهم مساحت مرکزی $p$ باشد:

برای $p=1/4$، ضلع‌های مستطیل $L/4$ و $3L/4$ و نسبتشان $1:3$ است. اتحاد مساحت $4w(L-w)+(L-2w)^2=L^2$ را کنترل کنید.

نوارهای عمود. در مربع واحد، نوار افقیِ سرتاسری با ارتفاع $u$ و نوار عمودیِ سرتاسری با عرض $v$، همپوشانیِ $uv$ دارند. سهم اجتماعشان $u+v-uv$ و سهم بیرون هر دو $(1-u)(1-v)$ است. برای $u=1/3,v=1/4$، همپوشانی $1/12$ و قسمت پوشیده‌نشده $1/2$ است. برابری مساحت نوارها نتیجه می‌دهد $u=v$؛ مربع‌بودن همپوشانی در این زمین مربعی نیز نتیجه می‌دهد $u=v$.

چهار مستطیل. یک برش افقی و یک برش عمودی در کسرهای $u,v$، سهم‌های مساحت $uv$، $(1-u)v$، $u(1-v)$ و $(1-u)(1-v)$ را می‌سازند. مستطیل روبه‌رو از مکمل هر دو کسر استفاده می‌کند. حاصل‌ضرب مساحت دو ناحیهٔ مقابل با حاصل‌ضرب دو ناحیهٔ مقابل دیگر برابر است. نسبت دو ناحیه ممکن است سهم ناحیهٔ چهارم را تعیین نکند؛ هر دو متغیر برش را تا تعیین هدف حفظ کنید.

مثلث کنار مربع کوچک. اگر مربعی به ضلع $s$ گوشهٔ پایین چپِ مربعِ ضلع $L$ را اشغال کند و فاصلهٔ انتهای آن تا رأس پایین چپ مثلث $d$ باشد، قاعدهٔ پایین مثلث $L-s-d$ است، نه $d$. ارتفاع مثلث $L$ است. اگر مساحتش $q$ برابر مساحت مربع کوچک باشد، بگذارید $x=s/L,y=d/L$:

برای این تفریق، قسمت‌های سایه‌زدهٔ واقعاً مجزا را بشمارید. برای مثلث غیرمنحط باید $x>0$، $y\ge0$ و $x+y<1$ برقرار باشد.

قطرها، وترها و دایره‌های هم‌مرکز

در مستطیلی با ارتفاع $h$ و طول $L=3h$، نواری به عرض $b$ از سمت راست جدا کنید. اگر نسبت قطر بخش چپ به راست $\sqrt{5/2}$ باشد، بگذارید $u=b/h$:

فقط $u=1$ ممکن است، زیرا $0<u<3$. سهم نوار $b/L=1/3$ است. ریشه را با هندسه کنترل کنید، نه فقط با معادلهٔ درجه‌دو.

اگر مرکز دایره رأس مربع باشد و همپوشانی به‌شکل ربع‌دایره، سهم مساحت $q$ داشته باشد، بنویسید $\pi r^2/4=qs^2$. آنگاه برای وتر میان محل برخورد با دو ضلع مجاور، $AB/s=\sqrt{8q/\pi}$ است، به‌شرط $r\le s$. برای $q=\pi/16$، داریم $r=s/2$ و $AB/s=1/\sqrt2$.

مربعِ محیط بر دایرهٔ شعاع $r$، ضلع $2r$ دارد. اگر همین مربع در دایرهٔ هم‌مرکز بزرگ‌تر با شعاع $R$ محاط باشد، قطر مربع $2R$ است. بنابراین $2R=2r\sqrt2$ و در نتیجه $R/r=\sqrt2$ و نسبت مساحت دایره‌ها $2$ است. در مقابل، $R-r=2$ هم با $(R,r)=(3,1)$ و هم با $(4,2)$ سازگار است و نسبت‌های مساحت $9$ و $4$ می‌دهد.

مثال نقض مختصاتی

خط غیرعمودی را به‌شکل $y=mx+b$ و خط عمودی را به‌شکل $x=c$ بنویسید. دو خط غیرعمودیِ متمایز دقیقاً وقتی همدیگر را قطع می‌کنند که شیب‌هایشان متفاوت باشد. خط‌های موازیِ متمایز، شیب برابر و عرض از مبدأ متفاوت دارند؛ اگر سؤال تقاطع یکتا می‌خواهد، خط‌های منطبق را جداگانه بررسی کنید. خطی که هیچ نقطه‌ای روی محور افقی ندارد، افقی و جدا از آن محور است. برخورد با محور عمودی، شیب غیرصفر را تضمین نمی‌کند.

مثلاً در هر دو زوجِ $y=2,y=3$ و $y=2,y=2x+3$، خط $y=x$ هر دو خط را قطع می‌کند. زوج اول موازی و زوج دوم متقاطع است. پس داشتن قاطع مشترک، وضعیت تقاطع دو خط اصلی را تعیین نمی‌کند.

برای دو قرص دایره‌ای، فاصلهٔ مراکز را $d$ و شعاع‌ها را $a,b$ بگیرید. نبود هر نقطهٔ مشترک، حتی روی مرزها، با $d>a+b$ برقرار است. قرص شعاع $a$ در قرص بزرگِ شعاع $R$ قرار می‌گیرد اگر فاصلهٔ مرکزش تا مرکز بزرگ به‌اضافهٔ $a$، حداکثر $R$ باشد. برای قرارگیری کاملاً داخلی از نامساویِ اکید استفاده کنید. اما مقایسهٔ مساحت به $a^2+b^2$ وابسته است.

دو آرایش مجاز: قرص بیرونی واحد باشد. مراکز $(0.5,0),(-0.5,0)$ با شعاع‌های $0.2,0.2$، فاصلهٔ $d=1$ و مجموع مجذور شعاع $0.08$ دارند. مراکز $(0.1,0),(-0.9,0)$ با شعاع‌های $0.85,0.05$ نیز $d=1$، قرارگیری کاملاً داخلی و قرص‌های مجزا دارند، اما مجموع مجذور شعاع $0.725$ است. پس جدایی و فاصلهٔ مراکز به‌تنهایی می‌توانند پاسخ‌های مخالفی برای مقایسه با نصف مساحت ایجاد کنند.

کفایت داده‌ها و کنترل نهایی

قرارداد ۱۱۴۸: گزینهٔ ۱ = دقیقاً یک اطلاع به‌تنهایی کافی؛ ۲ = فقط ترکیب کافی؛ ۳ = هرکدام به‌تنهایی کافی؛ ۴ = حتی ترکیب ناکافی است. برای آزمون مستقل اطلاع‌ها از کارت همراه کفایت داده‌ها استفاده کنید. پاسخ قطعیِ بله یا خیر کافی است؛ دو آرایش مجاز با پاسخ متفاوت، ناکفایتی را ثابت می‌کند. اگر اطلاع‌ها ناسازگارند، همان ایراد را گزارش کنید و شکل مشترک نسازید.

تلهٔ رایج: شکل، ارتباط نقاط و طول‌های تصریح‌شده را می‌دهد، نه تناسب‌های ظاهری. مثبت‌بودن طول‌ها، پاره‌خط‌های مکمل، واحدها، قرارگیری داخلی و ریشه‌های ردشده را کنترل کنید.

نکتهٔ کنکوری: ابتدا نرمال کنید، پیش از حل نسبت خواسته‌شده را بنویسید و مجموع شعاع‌ها را از مجموع مجذور شعاع‌ها جدا کنید.