چرخ‌دنده‌ها: هندسه، نسبت‌ها، نیروهای دندانه، تداخل و تنش‌های طراحی

مرجع کامل چرخ‌دنده‌های اینوولوت — عمل مزدوج و هندسهٔ استاندارد دندانه، نسبت سرعت و گشتاور در قطارهای ساده، مرکب و خورشیدی، بارهای مماسی/شعاعی/محوری دندانه، حد تداخل (حداقل تعداد دندانه) و تنش‌های طراحی خمشی و خستگی سطحی لوئیس/AGMA.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی مکانیک

اهمیت

۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی — عمل مزدوج و محل کاربرد آن

یک جفت چرخ‌دنده حرکت دورانی و گشتاور را با نسبت سرعت زاویه‌ای ثابت و بدون لغزش بین دو شفت منتقل می‌کند. شرط ثابت‌ماندن دقیق این نسبت، قانون چرخ‌دنده (عمل مزدوج) نام دارد: نرمال مشترک دو پروفیل دندانه در نقطهٔ تماس باید همواره از یک نقطهٔ ثابت روی خط مراکز — یعنی نقطهٔ گام $P$ — بگذرد. این نقطهٔ ثابت، فاصلهٔ مراکز را به نسبت معکوس سرعت‌ها تقسیم می‌کند، پس دو دایرهٔ گام بدون لغزش روی هم می‌غلتند:

\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{r_2}{r_1}=\frac{N_2}{N_1}=m_G .

اینوولوت دایره پروفیلی است که این شرط را به‌طور خودکار ارضا می‌کند و به همین دلیل عملاً هر چرخ‌دندهٔ قدرت، اینوولوت است. دو خاصیت تعیین‌کنندهٔ آن عبارت‌اند از:

خط عمل (نرمال مشترک) یک خط راست مماس بر هر دو دایرهٔ پایه است که با مماس مشترک دایره‌های گام زاویهٔ فشار $\phi$ می‌سازد، بنابراین راستای نیروی دندانه ثابت می‌ماند؛
عمل مزدوج نسبت به فاصلهٔ مراکز حساس نیست: دورکردن شفت‌ها زاویهٔ فشار کاری و شعاع‌های گام را افزایش می‌دهد، اما $\omega_1/\omega_2$ را دقیقاً برابر $N_2/N_1$ نگه می‌دارد. (پروفیل سیکلوئیدی چنین خاصیتی ندارد.)

چرخ‌دنده‌ها هرجا که به تبدیل سرعت/گشتاور فشرده، مثبت و با بازده بالا ( $\approx 97\text{–}99\%$ در هر درگیری ساده) نیاز باشد ظاهر می‌شوند: کاهنده‌ها و جعبه‌دنده‌ها، ماشین‌ابزارها، انتقال قدرت خودرو، قطارهای سیاره‌ای و عملگرها. طراحی یک مجموعهٔ چرخ‌دنده همیشه یک مسئلهٔ دوجبهه‌ای است — سینماتیک (نسبت، تعداد دندانه، فاصلهٔ مراکز، تداخل) و استحکام (خستگی خمشی دندانه و پیتینگ سطحی).

۲. هندسه و دندانهٔ استاندارد

فرض کنید $N$ تعداد دندانه و $d$ قطر گام باشد. اندازهٔ دندانه با مدول بیان می‌شود:

m=\frac{d}{N}\ \ [\text{mm}],\qquad p=\pi m\ (\text{circular pitch}),\qquad P_d=\frac{N}{d}=\frac{25.4}{m}\ [\text{teeth/in}] .

تناسبات استاندارد دندانهٔ تمام‌عمق $20^\circ$ ، دایرهٔ پایه و فاصلهٔ مراکز:

a=m\ (\text{addendum}),\quad b=1.25\,m\ (\text{dedendum}),\quad h=2.25\,m,\quad r_b=r\cos\phi,\quad C=\frac{d_1+d_2}{2}=\frac{m\,(N_1+N_2)}{2}.

شرط درگیری. دو چرخ‌دنده تنها در صورتی با هم کار می‌کنند که هم مدول و هم زاویهٔ فشار مشترک داشته باشند:

m_1=m_2\quad\text{and}\quad \phi_1=\phi_2 .

برابری مدول به‌تنهایی لازم است اما کافی نیست؛ برابری شعاع‌های گام نه لازم است و نه کافی (چون نسبت را به $1:1$ مجبور می‌کند).

نسبت درگیری — میانگین تعداد جفت‌دندانه‌های درگیر؛ باید از $1$ بیشتر باشد و طراحی خوب $m_c\ge 1.4$ را حفظ می‌کند:

m_c=\frac{\sqrt{r_{a1}^{2}-r_{b1}^{2}}+\sqrt{r_{a2}^{2}-r_{b2}^{2}}-C\sin\phi}{\pi m\cos\phi}.

چرخ‌دنده‌های مارپیچ. با زاویهٔ مارپیچ $\psi$ ، کمیت‌های نرمال و عرضی چنین به هم مربوط می‌شوند:

m_n=m_t\cos\psi,\qquad \tan\phi_n=\tan\phi_t\cos\psi,\qquad p_x=\frac{p_t}{\tan\psi},\qquad N_v=\frac{N}{\cos^{3}\psi},

که در آن $N_v$ تعداد دندانهٔ مجازی (سازنده) است و در ضرایب استحکام به کار می‌رود. نسبت تماس عرضی اضافی $m_F=F\tan\psi/p_t$ دلیل آن است که چرخ‌دنده‌های مارپیچ نسبت به ساده‌های هم‌اندازه کم‌صداتر و قوی‌ترند — به بهای ایجاد نیروی رانش محوری.

۳. نسبت‌ها و قطارهای چرخ‌دنده

برای یک جفت ساده $m_G=N_2/N_1=d_2/d_1=\omega_1/\omega_2$ . برای یک قطار، مقدار قطار برابر حاصل‌ضرب نسبت‌های تعداد دندانه است:

e=\frac{\omega_{\text{out}}}{\omega_{\text{in}}}=\pm\frac{\prod \text{driving tooth numbers}}{\prod \text{driven tooth numbers}},

که علامت آن برای درگیری‌های داخلی و برای تعداد زوج درگیری خارجی مثبت است. یک چرخ‌دندهٔ هرزگرد جهت دوران را معکوس می‌کند اما در بزرگی نسبت حذف می‌شود. چون توان (تقریباً) پایسته است:

P=T\omega=\text{const}\ \Rightarrow\ T_{\text{out}}=\eta\,T_{\text{in}}\,m_{G,\text{tot}},\qquad m_{G,\text{tot}}=\prod_i m_{G,i},

پس گشتاور با سرعت خریده می‌شود: کاهنده‌ای با نسبت کل بزرگ‌تر، گشتاور خروجی متناسباً بیشتری تحویل می‌دهد و هر شفت پایین‌دست یک درگیری، گشتاور بالادست را ضرب در نسبت همان درگیری حمل می‌کند.

قطارهای خورشیدی (سیاره‌ای). با بازوی دوار $A$ ، معادلهٔ قطار را در دستگاه بازو، بین اولین ( $F$ ) و آخرین ( $L$ ) چرخ‌دندهٔ قطار بنویسید:

e=\frac{\omega_L-\omega_A}{\omega_F-\omega_A}.

برای مجموعهٔ خورشیدی–سیاره‌ای–رینگ این رابطه به $\omega_s N_s+\omega_r N_r=(N_s+N_r)\,\omega_A$ ساده می‌شود؛ پیش از آنکه نسبتی معین وجود داشته باشد، باید یکی از اعضا مقید شود (یک درجهٔ آزادی حذف گردد).

۴. نیروهای دندانه

همه‌چیز از بار انتقالی (مماسی) روی دایرهٔ گام آغاز می‌شود که از گشتاور حمل‌شده توسط همان چرخ‌دنده محاسبه می‌شود:

W_t=\frac{2T}{d}=\frac{P}{V},\qquad V=\frac{\pi d\,n}{60}\ \ [\text{m/s},\ d\ \text{in m},\ n\ \text{in rpm}].

نوع چرخ‌دنده	مماسی	شعاعی (جداکننده)	محوری (رانش)
ساده	$W_t$	$W_r=W_t\tan\phi$	$0$
مارپیچ	$W_t$	$W_r=\dfrac{W_t\tan\phi_n}{\cos\psi}$	$W_a=W_t\tan\psi$
مخروطی مستقیم (زاویهٔ گام $\gamma$ )	$W_t$	$W_r=W_t\tan\phi\cos\gamma$	$W_a=W_t\tan\phi\sin\gamma$
حلزون $\to$ چرخ	$W_t^{w}=W_a^{g}$	$W_r$ مشترک بین هر دو عضو	$W_a^{w}=W_t^{g}$

برای درگیری ساده، برایند نیرو در امتداد خط عمل برابر $W_n=W_t/\cos\phi$ است. این مؤلفه‌ها دقیقاً همان بارهایی هستند که شفت، خارها و یاتاقان‌ها باید تحمل کنند، بنابراین یک مسئلهٔ چرخ‌دنده تقریباً همیشه به یک مسئلهٔ شفت/یاتاقان ادامه می‌یابد — و توجه کنید که مؤلفهٔ شعاعی کاری انجام نمی‌دهد و فقط شفت را خم می‌کند.

چرخ‌دندهٔ حلزونی حالت خاصی با لغزش زیاد، بازده پایین و نسبت بالاست: $m_G=N_G/N_w$ ( $N_w$ = تعداد راه‌های حلزون)، زاویهٔ سرب $\lambda$ با $\tan\lambda=L/(\pi d_w)$ ، و

\eta=\frac{\cos\phi_n-\mu\tan\lambda}{\cos\phi_n+\mu\cot\lambda},\qquad \text{self-locking when } \tan\lambda\lesssim\mu .

۵. تداخل و زیربرش

تداخل عبارت است از خراشیده‌شدن جناح غیراینوولوت زیر دایرهٔ پایه توسط نوک دندانهٔ درگیرشونده؛ این پدیده وقتی رخ می‌دهد که تماس فراتر از نقاط تماس خط عمل با دایره‌های پایه خواسته شود. تراش چرخ‌دنده با فرایند تولیدی (هاب یا شیپر) به‌جای آن، همان ماده را برمی‌دارد، یعنی ریشهٔ دندانه را زیربرش می‌کند — که دندانه را تضعیف و نسبت درگیری را کوتاه می‌کند. برای پینیونی با $N_p$ دندانه که با چرخ‌دنده‌ای با نسبت $m_G$ درگیر است (آدندوم $=k\,m$ ، $k=1$ برای تمام‌عمق):

N_{p,\min}=\frac{2k\left(m_G+\sqrt{m_G^{2}+(1+2m_G)\sin^{2}\phi}\right)}{(1+2m_G)\sin^{2}\phi},

که حد شانه‌ای (رک) آن ( $m_G\to\infty$ ) همان رابطهٔ آشناست:

N_{p,\min}=\frac{2k}{\sin^{2}\phi}\;\Rightarrow\;17.1\to 18\ \text{teeth at }\phi=20^\circ,\qquad 12.3\to 13\ \text{teeth at }\phi=25^\circ .

راه‌حل‌ها: افزایش زاویهٔ فشار، استفاده از دندانهٔ کوتاه (stub) ( $k=0.8$ )، یا اعمال انتقال پروفیل (اصلاح آدندوم) به مقدار $x\,m$ که ابزار برش را از ناحیهٔ زیربرش بیرون می‌کشد و می‌تواند لغزش و استحکام پینیون و چرخ‌دنده را نیز متعادل کند. توجه کنید که تداخل خاصیتی مربوط به پینیون — یعنی عضو کوچک — است و با بزرگ‌شدن نسبت بدتر می‌شود.

۶. تنش‌های طراحی — خمش و خستگی سطحی

خمش لوئیس (دندانه به‌عنوان تیر طرهٔ هم‌مقاومت سهموی). با پهنای رویه $F$ و ضریب شکل لوئیس $Y$ (تابعی تنها از $N$ و $\phi$ ):

\sigma=\frac{W_t}{F\,m\,Y}\le\sigma_{\text{all}},\qquad \sigma_{\text{all}}=\frac{S_e\ \text{or}\ S_y}{n}.

اثرات دینامیکی (ضربه) از طریق ضریب سرعت (بارث) وارد می‌شوند: $K_v=\dfrac{6.1+V}{6.1}$ برای دندانه‌های تراشیده/فرزکاری‌شده، $\dfrac{3.05+V}{3.05}$ برای دندانه‌های ریختگی، و $\dfrac{5.56+\sqrt{V}}{5.56}$ برای دندانه‌های دقیق هاب‌زده/شیپرزده، به‌طوری‌که $\sigma=K_v W_t/(F\,m\,Y)$ .

جایگذاری $W_t=2T/d=2T/(mN)$ قانون ظرفیت یک درگیری را می‌دهد:

T_{\text{pinion}}=\tfrac12\,\sigma_{\text{all}}\,F\,Y\,m^{2}N_p\ \ \propto\ m^{2}N_pF ,

یعنی اندازهٔ یک چرخ‌دنده را گشتاوری که حمل می‌کند تعیین می‌کند و ظرفیت با مربع مدول رشد می‌کند — مفیدترین رابطهٔ مقیاس‌بندی در طراحی جعبه‌دنده.

فرم AGMA (همان فیزیک، با نام‌گذاری تمام تصحیح‌ها):

\sigma=W_t K_o K_v K_s\frac{1}{b\,m_t}\frac{K_H K_B}{Y_J},\qquad \sigma_c=Z_E\sqrt{W_t K_o K_v K_s\frac{K_H}{d_{w1}b}\frac{Z_R}{Z_I}} ,

که در آن $K_o$ ضریب اضافه‌بار، $K_s$ ضریب اندازه، $K_H$ ضریب توزیع بار، $K_B$ ضریب ضخامت طوقه، $Y_J$ ضریب هندسهٔ خمشی، $Z_E$ ضریب کشسانی و $Z_I$ ضریب هندسهٔ سطحی است. تنش سطحی (پیتینگ) از نوع هرتزی است، پس با $\sqrt{W_t}$ تغییر می‌کند — به همین دلیل راه‌حل معمول پیتینگ، سخت‌کاری سطح است نه بزرگ‌کردن مدول، و به همین دلیل در چرخ‌دنده‌های فولادی سخت‌شده اغلب دوام سطحی (و نه خمش) تعیین‌کننده است.

۷. روش — چگونه مسائل چرخ‌دنده را حل کنیم

۱. ابتدا سینماتیک. $m_G$ هر درگیری و مقدار قطار $e$ را تعیین کنید؛ سرعت همهٔ شفت‌ها را به دست آورید. $m_G\le 5\text{–}6$ را در هر درگیری ساده حفظ کنید و کاهش‌های بزرگ را به چند مرحله بشکنید. ۲. هندسه. از $m$ و $N$ : $d=mN$ ، $C=m(N_1+N_2)/2$ ، $r_b=r\cos\phi$ . شرط درگیری (اشتراک $m$ و $\phi$ ) و نسبت درگیری $m_c\ge 1.4$ را بررسی کنید. ۳. کنترل تداخل روی پینیون با $N_{p,\min}$ ؛ اگر برقرار نشد، $\phi$ را افزایش دهید، دندانهٔ کوتاه به کار ببرید یا انتقال پروفیل بدهید. ۴. نقشهٔ گشتاور. $T=60P/(2\pi n)$ روی شفت ورودی، سپس با حرکت به سمت پایین‌دست در هر نسبت بالادست (ضرب در $\eta$ ) ضرب کنید. هرگز گشتاور پایین‌دست را مستقیماً برابر مقدار ورودی نگیرید. ۵. نیروها. $W_t=2T/d$ در هر درگیری، سپس $W_r$ و $W_a$ از جدول؛ آن‌ها را به تحلیل شفت و یاتاقان منتقل کنید. ۶. استحکام. خمش لوئیس (یا AGMA) را روی عضو ضعیف‌تر — معمولاً پینیون، چون $Y$ با $N$ افزایش می‌یابد — با $K_v$ حاصل از سرعت خط گام اعمال کنید؛ سپس دوام سطحی را بررسی کنید. هر چه خواسته شده ( $m$ ، $F$ ، $n$ یا توان قابل انتقال) را حل کنید. ۷. بررسی منطقی توازن‌ها. نسبت بزرگ‌تر $\Rightarrow$ گشتاور خروجی بیشتر و جعبهٔ بزرگ‌تر؛ مدول بزرگ‌تر $\Rightarrow$ ظرفیت به‌صورت درجه‌دو بیشتر، اما دندانهٔ کمتر برای قطر معین و محرکی درشت‌تر و پرصداتر.

۸. مثال کوتاه حل‌شده

یک جفت چرخ‌دندهٔ سادهٔ تمام‌عمق $20^\circ$ با $m=4\ \text{mm}$ ، $N_1=20$ (پینیون با $1200\ \text{rpm}$ )، $N_2=60$ ، پهنای رویه $F=40\ \text{mm}$ ، $Y_1=0.32$ ، توان $5\ \text{kW}$ را منتقل می‌کند. هندسه و بارهای دندانه را بیابید، تداخل را بررسی کنید و تنش خمشی را ارزیابی نمایید.

هندسه و نسبت.

d_1=mN_1=80\ \text{mm},\quad d_2=mN_2=240\ \text{mm},\quad C=\frac{80+240}{2}=160\ \text{mm},\quad m_G=\frac{60}{20}=3\ \Rightarrow\ n_2=400\ \text{rpm}.

تداخل. با $m_G=3$ ، $\phi=20^\circ$ ، $k=1$ : $\sin^{2}\phi=0.117$ و $(1+2m_G)\sin^{2}\phi=0.819$ ، پس

N_{p,\min}=\frac{2\left(3+\sqrt{9+0.819}\right)}{0.819}=\frac{2(3+3.13)}{0.819}\approx 15<20\quad\checkmark

گشتاور و نیروها.

\omega_1=\frac{2\pi(1200)}{60}=125.7\ \frac{\text{rad}}{\text{s}},\qquad T_1=\frac{5000}{125.7}=39.8\ \text{N}\cdot\text{m},\qquad W_t=\frac{2T_1}{d_1}=\frac{2(39.8)}{0.080}=995\ \text{N},

W_r=W_t\tan 20^\circ=362\ \text{N},\qquad W_n=\frac{W_t}{\cos 20^\circ}=1058\ \text{N},\qquad T_2\approx m_G T_1=119\ \text{N}\cdot\text{m}.

تنش خمشی. سرعت خط گام برابر است با $V=\pi d_1 n_1/60=\pi(0.08)(1200)/60=5.03\ \text{m/s}$ ، پس $K_v=(6.1+5.03)/6.1=1.82$ و

\sigma=\frac{K_v W_t}{F\,m\,Y}=\frac{1.82(995)}{(40)(4)(0.32)}=35.4\ \text{MPa},

که به‌راحتی زیر مقدار معمول $\sigma_{\text{all}}\approx 100\ \text{MPa}$ برای چرخ‌دندهٔ فولادی است. بنابراین درگیری از نظر خمشی ایمن است و بررسی بعدی — که محدودیت محتمل‌تر است — دوام سطحی خواهد بود.

۹. حالت‌های رایج و موارد خاص

کدام عضو ضعیف‌تر است؟ $Y$ با $N$ افزایش می‌یابد، پس با ماده‌ای یکسان، پینیون تعیین‌کننده است. اگر چرخ‌دنده از مادهٔ نرم‌تری باشد، حاصل‌ضرب $\sigma_{\text{all}}Y$ را برای هر دو عضو مقایسه کنید و بر پایهٔ کوچک‌تر طراحی نمایید.
فاصلهٔ مراکز غیراستاندارد. چرخ‌دنده‌های اینوولوت همچنان درست درگیر می‌شوند؛ زاویهٔ فشار کاری طبق $\cos\phi'=C\cos\phi/C'$ افزایش می‌یابد، نسبت درگیری کاهش و لقی افزایش می‌یابد.
هرزگردها و قطارهای برگشتی. هرزگرد فقط جهت را عوض می‌کند. قطار برگشتی ورودی و خروجی را هم‌محور می‌کند و شرط $m(N_1+N_2)=m'(N_3+N_4)$ را بر دو مرحله تحمیل می‌نماید.
مجموعه‌های سیاره‌ای نسبت‌های بزرگ را در بسته‌ای فشرده و با تقسیم بار فراهم می‌کنند و با $e=(\omega_L-\omega_A)/(\omega_F-\omega_A)$ حل می‌شوند — هرگز با نسبت سادهٔ تعداد دندانه، چون بازو دوران می‌کند.
چرخ‌دنده‌های مخروطی برای شفت‌های متقاطع (از تعداد دندانهٔ مجازی $N_v=N/\cos\gamma$ و شعاع متوسط برای $W_t$ استفاده کنید)؛ چرخ‌دنده‌های حلزونی برای نسبت‌های تک‌مرحله‌ای بسیار بزرگ و امکان خودقفل‌شوندگی، اما با تلفات لغزشی و محدودیت دفع حرارت.
تراش چرخ‌دنده مستقیماً به هندسه بازمی‌گردد: هاب‌زنی (هاب و قطعهٔ خام هر دو می‌چرخند و با $n_{\text{blank}}/n_{\text{hob}}=N_{\text{starts}}/Z$ هماهنگ می‌شوند) و شیپینگ (ابزار رفت‌وبرگشتی که با قطعهٔ خام می‌غلتد) فرایندهای تولیدی هستند که با یک ابزار واحد از یک مدول معین، برای هر تعداد دندانه اینوولوت واقعی می‌سازند؛ فرزکاری فرم غیرتولیدی و تنها تقریبی است.
روانکاری و مودهای خرابی. فراتر از شکست دندانه (خمش) و پیتینگ (هرتزی)، سرعت‌های بالای خط گام موجب خراش/سایش شدید (scoring/scuffing) می‌شوند که تابع دمای جرقه‌ای و سرعت لغزش است؛ سرعت لغزش در نقطهٔ گام صفر و در نوک و ریشهٔ دندانه بیشینه است.

نکتهٔ کنکوری: هر سؤال چرخ‌دنده را به سینماتیک یا استحکام دسته‌بندی کنید و دو قانون مقیاس‌بندی را در ذهن نگه دارید. از نظر سینماتیکی، $T_{\text{out}}=\eta T_{\text{in}}\prod_i m_{G,i}$ — افزایش نسبت همیشه گشتاور می‌خرد. از نظر سازه‌ای، $T_{\text{capacity}}\propto\sigma_{\text{all}}F\,Y\,m^{2}N_p$ — اندازهٔ چرخ‌دنده را گشتاوری که حمل می‌کند تعیین می‌کند، نه نسبتی که تولید می‌نماید. با کنارهم‌گذاشتن این دو، تلهٔ مفهومی کلاسیک خودبه‌خود حل می‌شود: با ثابت‌بودن توان و سرعت ورودی، اندازهٔ پینیون ورودی قفل است، پس نسبت بزرگ‌تر در هر درگیری باعث می‌شود هر چرخ‌دندهٔ درگیرشونده، پینیون پایین‌دست، شفت و فاصلهٔ مراکز $C=d_p(1+m_G)/2$ بزرگ‌تر شوند — هم‌زمان گشتاور خروجی بیشتر و جعبه‌دندهٔ بزرگ‌تر. و هرگز «برابری مدول» را به‌تنهایی به‌عنوان شرط درگیری ننویسید: این شرط لازم است، اما برابری زاویهٔ فشار هم باید همراه آن ذکر شود.

فرمول‌های کلیدی

Speed ratio of a mesh

m_G=\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{N_2}{N_1}=\frac{d_2}{d_1}

Module, circular pitch, centre distance

m=\frac{d}{N},\qquad p=\pi m,\qquad C=\frac{m\,(N_1+N_2)}{2}

Meshing condition

m_1=m_2\quad\text{and}\quad \phi_1=\phi_2

Base circle (line of action)

r_b=r\cos\phi

Contact ratio

m_c=\frac{\sqrt{r_{a1}^{2}-r_{b1}^{2}}+\sqrt{r_{a2}^{2}-r_{b2}^{2}}-C\sin\phi}{\pi m\cos\phi}

Train value and output torque

e=\frac{\omega_{\text{out}}}{\omega_{\text{in}}},\qquad T_{\text{out}}=\eta\,T_{\text{in}}\prod_i m_{G,i}

Epicyclic (planetary) train equation

e=\frac{\omega_L-\omega_A}{\omega_F-\omega_A}

Tangential tooth load

W_t=\frac{2T}{d}=\frac{P}{V},\qquad V=\frac{\pi d\,n}{60}

Spur tooth force components

W_r=W_t\tan\phi,\qquad W_n=\frac{W_t}{\cos\phi}

Helical tooth forces and virtual teeth

W_r=\frac{W_t\tan\phi_n}{\cos\psi},\qquad W_a=W_t\tan\psi,\qquad N_v=\frac{N}{\cos^{3}\psi}

Minimum pinion teeth (interference)

N_{p,\min}=\frac{2k\left(m_G+\sqrt{m_G^{2}+(1+2m_G)\sin^{2}\phi}\right)}{(1+2m_G)\sin^{2}\phi}\ \longrightarrow\ \frac{2k}{\sin^{2}\phi}\ (m_G\to\infty)

Lewis bending stress with velocity factor

\sigma=\frac{K_v W_t}{F\,m\,Y},\qquad K_v=\frac{6.1+V}{6.1}

Mesh capacity scaling

T_{\text{pinion}}=\tfrac12\,\sigma_{\text{all}}F\,Y\,m^{2}N_p\ \propto\ m^{2}N_pF

AGMA bending and contact stress

\sigma=W_tK_oK_vK_s\frac{1}{b\,m_t}\frac{K_HK_B}{Y_J},\qquad \sigma_c=Z_E\sqrt{W_tK_oK_vK_s\frac{K_H}{d_{w1}b}\frac{Z_R}{Z_I}}

Worm-gear ratio and self-locking

m_G=\frac{N_G}{N_w},\qquad \tan\lambda=\frac{L}{\pi d_w},\qquad \text{self-locking if }\tan\lambda\lesssim\mu

#gears#gear-ratio#module-pressure-angle#tooth-forces#interference-undercutting#lewis-bending-strength#gearbox-design

کارت‌های مرتبط

مفهومطراحی اجزا

اتصالات پیچی/جوشی، یاتاقان‌ها و انتقال قدرت با تسمه

اتصالات پیچی و جوشی، پیش‌بار تا جدایی و پس از آن، عمر یاتاقان و دستگاه‌های مرجع بارگذاری، و ظرفیت تسمه براساس هندسهٔ درگیری.

joint-separationpreload-fatigueweld-centroidfastener-group-shear

مفهومطراحی اجزا

نظریه‌های شکست: استاتیکی (فون‌میزز/ترسکا) و خستگی

معیار تسلیم یا شکست استاتیکی را از حالت کامل تنش موضعی انتخاب کنید؛ تاریخچهٔ خستگی را بسازید، حد خستگی را اصلاح کنید و علامت میانگین، مقیاس‌کردن متناسب سیکل و تسلیم در قله‌ها را بررسی کنید.

compressive-mean-stressfatigue-safety-factorvon-misestresca

مفهومدینامیک ماشین

سینماتیک مکانیزم‌ها: تحلیل سرعت و شتاب

درجهٔ آزادی را بشمارید و سرعت و شتاب عضوها و شیارها را با نمودار سرعت حول قطب، تصویر عضو صلب و مراکز آنی حل کنید؛ زمان‌بندی برگشت سریع و تعادل ایدئال را با کار مجازی استخراج کنید.

velocity-diagramternary-linkmechanism-mobilitykennedy-theorem

مفهومساخت و تولید

ماشین‌کاری: هندسهٔ ابزار، مکانیک برش و سلامت سطح

قوانین براده، نیرو، توان و عمر ابزار، زاویه‌های کاری، مکانیزم‌های سایش و مخروط‌تراشی، همراه زمان‌بندی EDM، فرایند ECM، تشدید USM و انتخاب فرایندهای پرتویی/پلاسما.

working-tool-anglescutting-mechanicstool-weartool-life

سوالات تمرینی · 8/12

طراحی اجزامتوسططراحی چرخ‌دنده و گیربکسکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — سؤال ۸۳

برای طراحی جعبه‌دنده زیر بر مبنای مقاومت خمشی دندانه، محور ورودی، سرعت ورودی و توان انتقالی مشخص بوده و به مسئله تحمیل شده‌اند. با افزایش نسبت سرعت در هر زوج‌چرخ‌دندهٔ درگیر، به‌ترتیب، «اندازه…

ساخت و تولیدمتوسطساخت و درگیری چرخ‌دندهکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — سؤال ۱۰۶

کدام مورد صحیح است؟

طراحی اجزامتوسططراحی چرخ‌دنده و گیربکسکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۸۱

در صورتی که ارتفاع سردنده در پینیون بلندتر از حد استاندارد و در چرخ‌دنده کوتاه‌تر از حد استاندارد باشد، در مورد زیر برش (under cutting) کدام مورد درست است؟

دینامیک ماشینمتوسطسینماتیک مکانیزم‌هاکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۹۱

در سری چرخ‌دندهٔ زیر، گشتاور خروجی چند نیوتن‌متر است؟ ( T_A=۱۰ N· m, N_P=۱۰, N_A=۴۰ ) (شکل: چرخ‌دندهٔ خورشیدی A با سرعت ω_A=۱۰۰۰ rpm ورودی است؛ سیاره‌های P و P^′ میان خورشیدی و چرخ‌دندهٔ داخلی ثابت F…

طراحی اجزاآسانطراحی چرخ‌دنده و گیربکسکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۲ — سؤال ۸۰

در طراحی چرخ‌دنده‌های ساده با نسبت تبدیل مشخص، کدام راهکار برای جلوگیری از تداخل دندانه‌ها مناسب است؟

دینامیک ماشینمتوسطسینماتیک مکانیزم‌هاکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۲ — سؤال ۹۹

مقدار (برحسب نیوتن‌متر) و جهت گشتاور خروجی در سری چرخ‌دنده مطابق شکل زیر کدام است؟ (شکل: N تعداد دندانه‌هاست؛ N_A=۴۰ ، N_P=۱۰ ، T_A=۱۰ N m ، n_A=۱۰۰۰ rpm و r=۲۵ cm . چرخ‌دندهٔ مرکزی A ورودی است؛…

طراحی اجزامتوسططراحی چرخ‌دنده و گیربکسکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۱ — سؤال ۸۵

با افزایش زاویهٔ فشار چرخ‌دنده‌ها مثلاً از ۱۴٫۵ به ۲۰ درجه، با ثابت ماندن اندازهٔ برآیند نیروی انتقالی بین دو چرخ‌دنده، سرعت، قطر گام و زاویهٔ مارپیچ آن‌ها، کدام گزینه صحیح است؟

طراحی اجزامتوسططراحی چرخ‌دنده و گیربکسکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۱ — سؤال ۸۶

در یک مجموعهٔ چرخ‌دنده‌ای با تغییر سرعت تک‌مرحله‌ای مطابق شکل، تعداد دندانه‌های چرخ‌دنده‌ها را تغییر داده‌ایم اما توان انتقالی، سرعت ورودی، فاصلهٔ محورها، زاویهٔ فشار چرخ‌دنده‌ها و مدول آن‌ها را ثابت…

همهٔ 12 سؤال →