مفهوممقاومت مصالح خیز تیرها

تیرها: تنش خمشی، برش عرضی و خیز

خمش تیر، برش عرضی و خیز به روش انرژی، همراه با پرش‌های نیرو و کوپل با قرارداد یکسان، امکان‌پذیری عکس‌العمل تکیه‌گاه و انتقال برش در اتصال‌دهنده‌های تیر مرکب.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی مکانیک

اهمیت

۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی

تیر عضوی لاغر است که به‌صورت عرضی نسبت به محورش بارگذاری می‌شود. این عضو با ایجاد یک گشتاور خمشی داخلی $M(x)$ و نیروی برشی $V(x)$ در برابر بار مقاومت می‌کند؛ این دو به‌نوبهٔ خود (i) یک تنش عمودی (خمشی) $\sigma$ ، (ii) یک تنش برشی عرضی $\tau$ ، و (iii) یک خیز $v(x)$ در محور (همان منحنی کشسان) پدید می‌آورند. هرچه در ادامه می‌آید بر فرض‌های اویلر–برنولی استوار است: ماده خطی-کشسان است (هوک)، مقاطع عرضی مسطح و عمود بر محور تغییرشکل‌یافته باقی می‌مانند، خیزها و شیب‌ها کوچک‌اند، و تغییرشکل برشی مقطع نادیده گرفته می‌شود. این سه اثر — تنش خمشی، تنش برشی، خیز — سه وجه یک مسئلهٔ تیر واحد هستند و تقریباً همیشه با هم آزموده می‌شوند.

۲. روابط کلیدی

روابط نیروهای داخلی و علامت‌ها. در نمودارها، $x$ به راست افزایش می‌یابد و $w(x)$ رو به پایین مثبت است. روی وجه برش راستِ قطعهٔ چپِ باقی‌مانده، برش مثبت رو به پایین و گشتاور مثبت پادساعت‌گرد است (خمش مثبت)؛ کنش‌ها روی وجه مقابل معکوس‌اند. آنگاه

\frac{dV}{dx} = -w(x), \qquad \frac{dM}{dx} = V(x), \qquad \frac{d^{2}M}{dx^{2}} = -w(x).

این روابط دیفرانسیلی بین کنش‌های متمرکز برقرارند. برش، شیب نمودار گشتاور است. برای یافتن بزرگ‌ترین قدرمطلق گشتاور، نقاط ایستا با $V=0$ ، انتهاها، شکست‌ها و هر دو سوی پرش گشتاور را بررسی کنید.

پرش در کنش‌های متمرکز. بنویسید $\Delta V=V(a^+)-V(a^-)$ و $\Delta M=M(a^+)-M(a^-)$ . با نیروی متمرکز رو به پایین $P$ و کوپل خارجی پادساعت‌گرد $C$ در $x=a$ :

\Delta V=-P,\qquad \Delta M=-C.

نیروی متمرکز به‌تنهایی گشتاور را پیوسته نگه می‌دارد، اما شیب آن را تغییر می‌دهد. کوپل به‌تنهایی برش را پیوسته نگه می‌دارد، اما گشتاور را می‌پراند؛ اگر هم‌مکان باشند هر دو تغییر را لحاظ کنید. عکس‌العمل رو به بالا پرش برش رو به بالا می‌دهد. مفصل داخلی گشتاور را صفر می‌کند، اما تکیه‌گاه سادهٔ داخلی در تیر دارای پیش‌آمدگی لزوماً گشتاور صفر ندارد.

آیا تکیه‌گاه می‌تواند عکس‌العمل را تأمین کند؟ جهت عکس‌العمل‌ها را فرض کنید، تعادل کلی را با تمام کوپل‌ها حل کنید و علامت‌های جبری را نگه دارید. عکس‌العمل منفی در راستای مثبتِ رو به بالا، نیروی رو به پایین از تکیه‌گاه می‌طلبد. یاتاقان محصور یا اتصال مهارکننده می‌تواند آن را تأمین کند؛ غلتک یک‌طرفهٔ متکی بر سطح نمی‌تواند تیر را به پایین بکشد. در حالت دوم تماس از بین می‌رود: دستگاه تکیه‌گاهی فرض‌شده امکان‌پذیر نیست و باید بازبینی شود. صرفاً تغییر علامت عکس‌العمل، تعادل را برقرار نمی‌کند.

تنش خمشی (رابطهٔ خمش). با $y$ رو به پایین از تار خنثی (محور مرکز سطح در خمش خالص همگن) و تنش کششی مثبت،

\sigma = \frac{M\,y}{I}, \qquad \sigma_{\max} = \frac{M\,c}{I} = \frac{M}{S},

که در آن $I$ ممان دوم سطح حول تار خنثی، $c$ فاصله تا دورترین تار، و $S = I/c$ اساس مقطع است. تنش به‌صورت خطی در امتداد ارتفاع تغییر می‌کند: در تار خنثی صفر و در تارهای بالا/پایین بیشینه.

نیروی محوری همراه خمش. در مقطع مورد نظر برش بزنید و برایند محوری $N$ را با کشش مثبت و گشتاور خمشی $M$ را حول مرکز سطح مقطع تعیین کنید. خروج از مرکز را تا مرکز سطح اندازه بگیرید، نه تا کرنش‌سنج یا سطح. با علامت‌های خمشی بالا، برای عضو همگن لاغر:

\sigma_x(y)=\frac{N}{A}+\frac{My}{I},\qquad\varepsilon_x(y)=\frac{\sigma_x(y)}{E}.

جمع علامت‌دار را در تار واقعی کرنش‌سنج محاسبه کنید. بار محوری محور تنش صفر را از مرکز سطح جابه‌جا می‌کند؛ این محور ممکن است بیرون مقطع قرار گیرد. رابطهٔ کرنش، الاستیسیتهٔ خطی تک‌محوری، تنش عمودی عرضی ناچیز و نبود کرنش حرارتی را فرض می‌کند. در تنش چندمحوری از قانون هوک تعمیم‌یافته استفاده کنید. نزدیک خم تند یا محل ورود بار، و برای تیر با انحنای زیاد، رابطهٔ ابتدایی تنش تیر مستقیم ممکن است کافی نباشد.

گشتاور–انحنا. تار خنثی به شعاع $\rho$ خم می‌شود، با

\frac{1}{\rho} = \frac{M}{EI}, \qquad EI\,\frac{d^{2}v}{dx^{2}} = M(x),

که در آن $EI$ سختی خمشی است، $v$ رو به بالا مثبت است و انحنا با خمش مثبت هم‌علامت گرفته می‌شود. این معادلهٔ دیفرانسیل، معادلهٔ اصلی خیز است. برای قدرمطلق بیشینهٔ تنش از قدرمطلق گشتاور استفاده کنید؛ خیزهای رو به پایین جدول زیر قدرمطلق هستند.

تنش برشی عرضی. در یک برش افقی به فاصلهٔ $y$ از تار خنثی،

\tau = \frac{V\,Q}{I\,t}, \qquad q = \tau\,t = \frac{V\,Q}{I},

که در آن $Q = \int_{A'} y\,dA = A'\,\bar{y}'$ ممان اول سطح ورای برش حول تار خنثی، $t$ عرض در محل برش، و $q$ جریان برشی (نیرو بر واحد طول) است. برای یک مقطع مستطیلی، $\tau$ سهموی است با $\tau_{\max} = \tfrac{3}{2}\,V/A$ در تار خنثی و صفر در بالا/پایین.

خیز به روش انرژی. انرژی کرنشی خمشی و دو روش انرژی برای یک جابه‌جایی/دوران منفرد عبارت‌اند از

U = \int \frac{M^{2}}{2EI}\,dx, \qquad \delta = \frac{\partial U}{\partial P} = \int \frac{M}{EI}\,\frac{\partial M}{\partial P}\,dx, \qquad \delta = \int \frac{M\,m}{EI}\,ds.

در صورت بار واحد، $M$ گشتاور واقعی و $m$ گشتاور ناشی از یک بار واحد است که در نقطهٔ مورد نظر و در راستای خیز خواسته‌شده اعمال می‌شود (برای یک دوران از یک کوپل واحد استفاده کنید).

انرژی محوری و جابه‌جایی نسبی. برای اعضای قاب با هر دو برایند، با حذف انرژی برش و پیچش فقط در صورت توجیه:

U=\sum_i\int_i\left(\frac{M^2}{2EI}+\frac{N^2}{2EA}\right)ds,

\delta_q=\frac{\partial U}{\partial q}=\sum_i\int_i\left(\frac{M}{EI}\frac{\partial M}{\partial q}+\frac{N}{EA}\frac{\partial N}{\partial q}\right)ds =\sum_i\int_i\left(\frac{Mm}{EI}+\frac{Nn}{EA}\right)ds.

در اینجا $m,n$ از بارگذاری واحد مزدوج با $q$ حاصل می‌شوند. برای نیروهای انتهایی برابر و مخالف $\vec F_C=P\hat e$ و $\vec F_A=-P\hat e$ ، کار مجازی خارجی $P\hat e\cdot(d\vec u_C-d\vec u_A)$ است، بنابراین

\frac{\partial U}{\partial P}=\Delta=\hat e\cdot(\vec u_C-\vec u_A).

مشتق، بازشدگی نسبی شامل هر دو انتها را می‌دهد. جابه‌جایی یک انتها به بار فرضی مستقل خودش نیاز دارد. انرژی محوری را حفظ کنید، مگر آنکه تقریب تصریح‌شده یا مقایسهٔ بزرگی آن را ناچیز کند؛ وقتی خمش از بین می‌رود، لاغربودن به‌تنهایی کافی نیست.

۳. روش — چگونه واقعاً حل کنیم

الف. تنش خمشی.

نمودارهای $V$ و $M$ را رسم کنید؛ مقدار بحرانی $|M|_{\max}$ را بخوانید.
تار خنثی (محور مرکز سطح) را بیابید و $I$ را محاسبه کنید (قضیهٔ محورهای موازی برای مقاطع مرکب).
برای قدرمطلق تنش، $\sigma = Mc/I$ را به کار ببرید. خمش مایل را حول محورهای اصلی مرکز سطح تجزیه و برهم‌نهی کنید: $\sigma = M_z y/I_z + M_y z/I_y$ ، با دو ضریب علامت‌دار که بر پایهٔ کشش ناشی از هرکدام تعریف می‌شوند. اگر مؤلفه‌های بردار گشتاور با قاعدهٔ دست راست را به کار می‌برید، علامت نسبی آن‌ها را از وجه برش تعیین کنید و قدرمطلق‌ها را جمع نکنید. برای محورهای غیر اصلی، حاصل‌ضرب اینرسی را لحاظ کنید یا به محورهای اصلی بچرخید.

ب. تنش برشی عرضی.

$V$ را در مقطع و $I$ را برای کل مقطع عرضی به دست آورید.
تراز تار را انتخاب کنید؛ $Q = A'\bar{y}'$ ماده بیرون از برش و عرض $t$ در آنجا را محاسبه کنید.
رابطهٔ $\tau = VQ/(It)$ را به کار برید. برای اعضای باز جدارنازک، ممان اول را از لبهٔ آزاد واقعی (که در آن $q=0$ ) در امتداد جداره انباشته کنید و سپس $q(s)=VQ(s)/I$ را محاسبه کنید.

تیرهای ساخته‌شده از اجزای جدا و اتصال‌دهنده‌ها. رابطهٔ جریان برشی، انتقال طولی لازم برای عملکرد یکپارچهٔ تخته‌های جدا را نیز بیان می‌کند. عملکرد مرکب کامل و بدون لغزش قابل‌توجه را فرض کنید؛ در غیر این صورت اینرسی کل مقطع، سختی را بیش از واقع برآورد می‌کند.

مرکز سطح و $I$ کل مقطع مؤثر را محاسبه کنید.
تخته یا گروه واقعی تخته‌ها را جدا کنید که نیروی محوری آن باید منتقل شود. $Q=A'\bar y'$ آن با مادهٔ جداشده و تار خنثی کل مقطع محاسبه می‌شود، نه با مساحت کل مقطع.
تمام فصل مشترک‌های عبور بار میان آن تخته و بقیه را مشخص کنید. انتقال کل لازم از تغییر نیروی خمشی به دست می‌آید:

N_{A'}=\frac{MQ}{I},\qquad q_{\mathrm{total}}=\frac{dN_{A'}}{dx}=\frac{VQ}{I}.

این مقدار کل را تنها میان مسیرهای واقعاً موازی که همان جزء جداشده را به بقیه وصل می‌کنند تقسیم کنید. دو درز یکسان و متقارن سهم برابر دارند. مسیرهای نابرابر به تعادل و سازگاری اتصال‌دهنده‌ها/تغییرشکل نیاز دارند؛ فصل مشترک‌های متوالی هرکدام انتقال لازم خود را تحمل می‌کنند و آن را تقسیم نمی‌کنند. جداکردن تخته‌ای دیگر، $Q$ و تعادل جسم آزاد جدید می‌خواهد.
برای ردیفی با فاصلهٔ اتصال‌دهنده‌ها $s$ ، در جریان موضعاً یکنواخت:

F_{\mathrm{connector}}=\lvert q_{\mathrm{row}}\rvert s,\qquad s\le\frac{F_{\mathrm{allow}}}{\lvert q_{\mathrm{row}}\rvert}.

اگر جریان در طول یک گام به‌طور محسوسی تغییر کند، انتگرال آن روی همان گام را به کار ببرید. نیروی مجاز اتصال‌دهنده باید با صفحات واقعی برش، مقاومت اتکایی و طراحی اتصال مطابقت داشته باشد.

لبهٔ آزاد بیرونی پایان جداره است؛ فصل مشترک مقطع بسته که چسبی، میخی یا پیوسته است، بار منتقل می‌کند و آزاد نیست. در سلول بستهٔ جدارنازک، جریان پایهٔ حاصل از بازکردن یک برش عموماً به جریان گردشی زائد نیاز دارد که با تعادل و سازگاری پیچش تعیین می‌شود. صرفاً به‌دلیل نمایش یک درز به‌صورت خط در شکل، جریان آن را صفر نگیرید.

پ. خیز. سبک‌ترین ابزار را انتخاب کنید:

انتگرال‌گیری دوگانه — $EIv'' = M(x)$ را دو بار انتگرال بگیرید و دو ثابت را با شرایط مرزی تعیین کنید ( $v$ و/یا $v'$ در تکیه‌گاه‌ها معلوم؛ پیوستگی در نقاط داخلی).
برهم‌نهی — بار را به حالت‌های استاندارد تجزیه کرده و خیزهای جدول‌بندی‌شده را جمع کنید (سریع‌ترین راه هنگامی که تیر با حالت‌های مرجع مطابقت دارد).
انرژی / بار واحد / کاستیلیانو — بهترین گزینه برای قاب‌ها، اعضای منحنی، و هنگامی که فقط یک خیز خواسته شده است؛ برای تیرهای لاغر معمولاً فقط انرژی خمشی اهمیت دارد.
نامعین استاتیکی؟ یک معادلهٔ سازگاری بیفزایید (یک عکس‌العمل زائد که چنان انتخاب می‌شود که یک خیز/شیب معلوم صفر باشد)، یا از سازگاری خیز مشترک میان اعضای متصل بهره ببرید.

۴. مثال کوچک حل‌شده

یک تیر طره به طول $L$ ، سختی خمشی $EI$ ، که در دیوار گیردار است و یک بار نوک رو به پایین $P$ را تحمل می‌کند. بیشینهٔ تنش خمشی و خیز نوک را بیابید.

$x$ را در این انتگرال انرژی به‌صورت فاصلهٔ موضعی از نوک آزاد به‌سوی دیوار اندازه بگیرید (خلاف مختصات رو به راست نمودار). گشتاور داخلی با علامت خمش مثبت $M(x) = -P x$ است، پس $|M|_{\max} = PL$ در دیوار. با فاصلهٔ دورترین تار $c$ و ممان دوم $I$ ،

\sigma_{\max} = \frac{|M|_{\max}\,c}{I} = \frac{P L\,c}{I}.

برای خیز نوک از روش بار واحد استفاده کنید: یک بار واحد رو به پایین در نوک اعمال کنید که $m(x) = -x$ می‌دهد. آنگاه

\delta_{\text{tip}} = \int_0^L \frac{M\,m}{EI}\,dx = \frac{1}{EI}\int_0^L (-Px)(-x)\,dx = \frac{P}{EI}\int_0^L x^{2}\,dx = \frac{P L^{3}}{3EI}.

همین نتیجه از کاستیلیانو ( $\partial M/\partial P = -x$ ) یا از حالت استاندارد تیر طره به دست می‌آید — سه مسیر، یک پاسخ.

بررسی‌های ساختگی پرش و اتصال‌دهنده. تیری مهارشده تکیه‌گاه‌هایی به فاصلهٔ $3\,\mathrm m$ دارد؛ نیروی رو به پایین $4\,\mathrm{kN}$ در فاصلهٔ $2\,\mathrm m$ و کوپل پادساعت‌گرد $10\,\mathrm{kN\,m}$ در همان محل اعمال شده‌اند. تعادل می‌دهد:

3R_B-4(2)+10=0,\qquad R_B=-\frac23\,\mathrm{kN},\qquad R_A=\frac{14}{3}\,\mathrm{kN}.

برش در محل نیرو از $14/3$ به $2/3\,\mathrm{kN}$ تغییر می‌کند. گشتاور در محل کوپل از $28/3$ به $-2/3\,\mathrm{kN\,m}$ تغییر می‌کند و سپس تا صفر در تکیه‌گاه راست افزایش می‌یابد. غلتک متکی بر سطح در آن تکیه‌گاه جدا می‌شود؛ مهار ضروری است.

در یک تیر مرکب دیگر، قدر مطلق‌ها را به کار ببرید: تختهٔ بالایی جداشده $Q=1.2\times10^5\,\mathrm{mm^3}$ دارد، کل مقطع $I=4.0\times10^7\,\mathrm{mm^4}$ و برش $V=6\,\mathrm{kN}$ است. با دو درز یکسان، متقارن و موازی:

q_{\mathrm{total}}=\frac{6000(1.2\times10^5)}{4.0\times10^7}=18\,\mathrm{N/mm},\qquad q_{\mathrm{row}}=9\,\mathrm{N/mm}.

در گام $s=80\,\mathrm{mm}$ ، هر اتصال‌دهنده $720\,\mathrm N$ تحمل می‌کند. نیروی مجاز $900\,\mathrm N$ ، گام بیشینهٔ $100\,\mathrm{mm}$ می‌دهد. کنترل واحدها: نسبت ممان اول به ممان دوم، معکوس طول است؛ پس جریان، نیرو بر واحد طول است.

بررسی‌های ابداعی تنش و بازشدگی. مقطعی مستطیلی دارای $A=600\,\mathrm{mm^2}$ ، $I=45000\,\mathrm{mm^4}$ و $E=70000\,\mathrm{MPa}$ است. در کرنش‌سنج سمت کششی، $N=6000\,\mathrm N$ ، $M=120000\,\mathrm{N\,mm}$ و $y=15\,\mathrm{mm}$ می‌دهند $\sigma_x=10+40=50\,\mathrm{MPa}$ و $\varepsilon_x=50/70000=714\times10^{-6}$ . تار انتهایی مقابل دارای $10-40=-30\,\mathrm{MPa}$ است.

میلهٔ مستقیم دیگری با طول کل $\ell$ و نیروهای برابر رو به بیرون $P$ در دو انتها دارای $U=P^2\ell/(2EA)$ و بازشدگی نسبی $\Delta=P\ell/(EA)$ است. با تثبیت نقطهٔ میانی بر اثر تقارن، هر انتها نصف این مقدار جابه‌جا می‌شود؛ مشتق نسبت به نیروی مشترک هرگز فقط یکی از این نصف‌ها را نمی‌دهد. هر دو نتیجه یکاهای لازم تنش و طول را دارند.

۵. گونه‌های رایج و حالت‌های خاص

حالت‌های استاندارد خیز (به‌خاطر بسپارید).

تیر و بار	بیشینهٔ خیز
تیر طره، بار نوک $P$	$\dfrac{PL^{3}}{3EI}$
تیر طره، کوپل نوک $M$	$\dfrac{ML^{2}}{2EI}$
تیر طره، بار گستردهٔ یکنواخت $w$	$\dfrac{wL^{4}}{8EI}$
دوسرمفصل، بار میانی $P$	$\dfrac{PL^{3}}{48EI}$
دوسرمفصل، بار گستردهٔ یکنواخت $w$	$\dfrac{5wL^{4}}{384EI}$

قاب‌ها و اعضای خمیده. هر بخش مستقیم را با انتگرال بار واحد $\int Mm/EI\,ds$ در نظر بگیرید. سهم گشتاوری بار عرضی نوک روی یک پایه، یک کوپل انتهایی به عضو بعدی منتقل می‌کند؛ پس با لحاظ جداگانهٔ مؤلفه‌های نیروی دیگر، تیر طرهٔ خمیده اغلب به «یک تیر طرهٔ مستقیم + یک گشتاور انتهایی» ساده می‌شود — دهانهٔ خیزیافته (طول آن) تعیین می‌کند که پاسخ متناسب با $b^{2}$ باشد یا $a^{2}$ .

ادامهٔ مستقیم بدون بار انحنای صفر دارد، نه لزوماً جابه‌جایی صفر: با طول ادامهٔ $\ell$ ، داریم $v_{\mathrm{end}}=v_{\mathrm{junction}}+\ell\theta_{\mathrm{junction}}$ . برای سختی پله‌ای، هر قطعه را با $EI$ خودش انتگرال بگیرید و پیوستگی خیز و شیب را اعمال کنید. در حد $EI\to\infty$ ، آن قطعه انحنا و انرژی خمشی صفر دارد، ولی می‌تواند انتقال و دوران داشته باشد و گشتاور منتقل کند. پیوستگی نه گیردار داخلی ایجاد می‌کند و نه مفصل؛ شرایط واقعی تکیه‌گاه و اتصال را حفظ کنید. در میدان خمشی خارجی ثابت، چرخش محور دایره‌ای یک نقطهٔ مادی را بین کشش و فشار جابه‌جا می‌کند؛ دامنهٔ خمش تیر را بیابید و سپس معیار خستگی جداگانه را به کار ببرید.

قاب خمیده ممکن است هم نیروی انتهایی و هم کوپل انتهایی منتقل کند. ساده‌سازی به کوپل خالص فقط وقتی معتبر است که مؤلفهٔ مورد نظر نیروی عرضی روی آن قطعه ایجاد نکند؛ همهٔ مؤلفه‌های موجود در نمودار جسم آزاد را حفظ کنید.

اعضایی که یک خیز مشترک دارند (فنرهای موازی). هنگامی که دو تیر چنان به هم بسته شوند که در نقطهٔ بار به یک اندازه خیز کنند، هر یک همچون یک فنر $k=48EI/L^{3}$ (بار میانی) یا حالت مناسب عمل می‌کند؛ سختی کل $k_{\text{eq}}=\sum k_i$ است، بار به نسبت سختی تقسیم می‌شود، و $\delta = F/k_{\text{eq}}$ . این سازگاری یک‌خطی جایگزین حل دستگاه نامعین می‌شود.

مقاطع باز جدارنازک و مرکز برش. برای جدارهٔ با ضخامت ثابت تحت بار برشی عرضیِ سازگار، $\tau \propto Q(s)$ ، یعنی ممان اول جاری از لبهٔ آزاد. در مقاطع متقارن متداول مانند I یا ناودانی، برش اغلب نزدیک تار خنثی روی جان بیشینه است. هر صفر اضافی در محل صفرشدن ممان اول جاری رخ می‌دهد؛ وجود و محل آن به هندسه وابسته است و الزاماً همیشه روی بال نیست. نوک‌های آزاد همچنان مرز جریان صفرند. برایند جریان از مرکز برش می‌گذرد؛ بار عرضی خارج از آن، مقطع را نیز پیچ می‌دهد.

مقاطع مرکب / نامتقارن. از روش مقطع تبدیل‌یافته (برای $E$ متفاوت) یا رابطهٔ کامل تنش خمش نامتقارن استفاده کنید؛ در این صورت تار خنثی لازم نیست افقی باشد.

نکتهٔ کنکوری: سه رابطه را با توجه به آنچه هر یک را می‌راند از هم تفکیک کنید — $\sigma$ با گشتاور $M$ متناسب است و در تار خنثی از بین می‌رود؛ $\tau$ با برش $V$ متناسب است و برای مقطع مستطیلی در تار خنثی بیشینه می‌شود (محل مخالف!)؛ خیز با $\int M/EI$ متناسب است. پس تنش خمشی در جایی که $M$ بیشینه است بدترین حالت را دارد (اغلب وسط دهانه یا دیوار)، تنش برشی در جایی که $V$ بیشینه است بدترین است (اغلب تکیه‌گاه‌ها)، و این دو به‌ندرت بر هم منطبق می‌شوند.

فرمول‌های کلیدی

Flexure formula (bending stress)

\sigma = \frac{M\,y}{I}, \qquad \sigma_{\max} = \frac{M\,c}{I} = \frac{M}{S}

Moment–curvature (elastic curve)

\frac{1}{\rho} = \frac{M}{EI}, \qquad EI\,\frac{d^{2}v}{dx^{2}} = M(x)

Load–shear–moment relations

\frac{dV}{dx} = -w(x), \qquad \frac{dM}{dx} = V(x)

Transverse shear stress / shear flow

\tau = \frac{V\,Q}{I\,t}, \qquad q = \tau\,t = \frac{V\,Q}{I}, \qquad Q = \int_{A'} y\,dA = A'\,\bar{y}'

Strain energy in bending

U = \int \frac{M^{2}(x)}{2EI}\,dx

Castigliano's second theorem

\delta = \frac{\partial U}{\partial P} = \int \frac{M}{EI}\,\frac{\partial M}{\partial P}\,dx

Unit-load (virtual-work) method

\delta = \int \frac{M\,m}{EI}\,ds, \qquad \theta = \int \frac{M\,m_{\theta}}{EI}\,ds

Parallel members (shared deflection)

k_{\text{eq}} = \sum_i k_i, \qquad \delta = \frac{F}{k_{\text{eq}}}

Concentrated-load jumps (downward P, counterclockwise C)

\Delta V=-P,\qquad \Delta M=-C

Built-up board total shear transfer

q_{\mathrm{total}}=VQ/I,\qquad Q=A^\prime\bar y^\prime

Connector force and allowable spacing

F_{\mathrm{connector}}=\lvert q_{\mathrm{row}}\rvert s,\qquad s\le F_{\mathrm{allow}}/\lvert q_{\mathrm{row}}\rvert

Unloaded straight extension

v_{\mathrm{end}}=v_{\mathrm{junction}}+\ell\theta_{\mathrm{junction}}

Combined section stress and uniaxial strain

\sigma_x=N/A+My/I,\qquad\varepsilon_x=\sigma_x/E

Bending and axial strain energy

U=\sum_i\int_i\left(\frac{M^2}{2EI}+\frac{N^2}{2EA}\right)ds

Combined unit-load integral

\delta_q=\sum_i\int_i\left(\frac{Mm}{EI}+\frac{Nn}{EA}\right)ds

Opening conjugate to an equal/opposite force pair

\partial U/\partial P=\hat e\cdot(\vec u_C-\vec u_A)

#combined-axial-bending#beam-deflection#castigliano#relative-opening#shear-flow#connectors#piecewise-rigidity

کارت‌های مرتبط

مفهوممقاومت مصالح

تنش، کرنش و قانون هوک تعمیم‌یافته

ارتباط تنش و کرنش سه‌بعدی با قانون هوک همسانگرد، شامل کرنش ذاتی حرارتی، کرنش حجمی، حدود الاستیک و قیود مکانیکی و حرارتی.

generalized-hookes-lawthermal-eigenstrainthermal-restraintvolumetric-strain

مفهوممقاومت مصالح

بارگذاری محوری، پیچش و پایداری کشسان

سازگاری محوری و حرارتی، انتقال توزیع‌شده، پیچش شفت با انتهای ثابت و حلقهٔ چسبیده، کمانش ستون انعطاف‌پذیر و پایداری میلهٔ صلب با مفصل واقعی یا حذف انتقال آزاد.

free-translationstiffness-condensationrigid-bar-stabilitydistributed-axial-load

مفهومطراحی اجزا

نظریه‌های شکست: استاتیکی (فون‌میزز/ترسکا) و خستگی

معیار تسلیم یا شکست استاتیکی را از حالت کامل تنش موضعی انتخاب کنید؛ تاریخچهٔ خستگی را بسازید، حد خستگی را اصلاح کنید و علامت میانگین، مقیاس‌کردن متناسب سیکل و تسلیم در قله‌ها را بررسی کنید.

compressive-mean-stressfatigue-safety-factorvon-misestresca

سوالات تمرینی · 8/20

مقاومت مصالحمتوسطخیز تیرهاکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۷۵

در تیر شکل زیر، جابه‌جایی قائم نقطه C چقدر است؟ (عضو افقی AB به طول b و صلبیت خمشی EI در A گیردار است؛ در B عضو قائم BC به طول a و صلبیت خمشی EI به سمت پایین تا نقطه C امتداد دارد و نیروی افقی P در…

مقاومت مصالحمتوسطخیز تیرهاکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۷۶

تیرهای AB و LN در وسط و دو انتها توسط قطعات صلب کوچک مطابق شکل به‌هم متصل شده‌اند. تیر پایینی LN دارای صلبیت خمشی E، ۲I و تیر بالایی AB دارای صلبیت E، I است و دهانه به طول L (دو نیمهٔ L/۲) روی…

مقاومت مصالحسختبرش عرضی و جریان برشیکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۵ — سؤال ۷۷

در شکل زیر، مقطع یک تیر جدار نازک به ضخامت یکنواخت t (t << a) تحت اثر نیروی برشی V قرارگرفته است. مؤلفه تنش برشی در کدام ناحیه صفر می‌شود؟ (از لبه‌های A و E که تنش برشی در آنها صفر است صرف‌نظر کنید.)…

مقاومت مصالحمتوسطخیز تیرهاکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — سؤال ۷۴

خیز انتهای تیر (مقطع C)، چند برابر dfrac Pa^۳ EI است؟ (سفتی خمشی در قسمت AB، برابر EI و در قسمت BC، برابر EI/۲ است.) شکل: تیر یک‌سر‌گیردار افقی که در نقطهٔ A به دیوار گیردار شده است. سه بازهٔ مساوی…

استاتیکمتوسطتعادلکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۶۹

نمودار نیروی برشی و ممان خمشی تیر شکل زیر، کدام است؟ شکل: تیر ساده با تکیه‌گاه مفصلی A و غلتکی B به فاصلهٔ ۱ m ؛ در فاصلهٔ ۰٫۷ m از A ، نیروی قائم رو به پایین ۱ kN و گشتاور پادساعت‌گرد ۱ kN m وارد…

مقاومت مصالحمتوسطتنش خمشیکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۷۶

به یک تیر با مقطع مستطیل، گشتاور خمشی M مطابق شکل زیر وارد می‌شود. تنش در نقطهٔ B چند مگاپاسکال است؟ شکل: عرض مقطع ۱۲ mm و ارتفاع آن ۱۶ mm است؛ B گوشهٔ بالا و راست با مختصات (۶,۸) mm نسبت به مرکز…

مقاومت مصالحمتوسطبرش عرضی و جریان برشیکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۷۷

اگر از اتصال چهار تختهٔ الوار با ضخامت ۵۰ mm یک تیر توخالی با مقطع مربع به ضلع ۲۵۰ mm ساخته شود، در کدام طرح(ها)، تعداد میخ کمتری نیاز است؟ شکل: طرح a دارای دو تختهٔ کناری تمام‌ارتفاع و تخته‌های افقی…

مقاومت مصالحمتوسطخیز تیرهاکنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۳ — سؤال ۷۸

خیز انتهای آزاد تیر، چند برابر (wL^۴)/EI است؟ شکل: تیر یک‌سرگیردار به طول کل ۲L با سختی خمشی ثابت EI ؛ در نیمهٔ اول، بار گستردهٔ مثلثی رو به پایین از شدت w در تکیه‌گاه تا صفر در فاصلهٔ L کاهش…

همهٔ 20 سؤال →