انتگرال‌گیری عددی و خطا (ذوزنقه‌ای/سیمپسون)

قواعد نیوتن-کاتس مقدار $I=\int_a^b f(x)\,dx$ را با انتگرال‌گیری از چندجمله‌ای درون‌یاب $f$ در گره‌های با فاصلهٔ مساوی تقریب می‌زنند. دو قاعدهٔ پرکاربرد، قاعدهٔ ذوزنقه‌ای (درون‌یاب خطی) و قاعدهٔ سیمپسون (درون‌یاب درجه دو) هستند.

قواعد پایه (تک‌بازه‌ای)

با $h=b-a$ برای ذوزنقه و $h=\tfrac{b-a}{2}$ (به‌طوری‌که $x_1$ نقطهٔ میانی باشد) برای سیمپسون:

$\int_a^b f\,dx \approx \frac{h}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr)\qquad\text{(trapezoid)}$

$\int_a^b f\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl(f(a)+4f(m)+f(b)\bigr),\quad m=\tfrac{a+b}{2}\qquad\text{(Simpson)}$

هر کدام با یک جملهٔ خطای دقیق همراه است (برای برخی $\xi\in(a,b)$):

$I-T=-\frac{(b-a)^{3}}{12}\,f''(\xi),\qquad I-S=-\frac{(b-a)^{5}}{2880}\,f^{(4)}(\xi).$

قواعد مرکب (چند‌بازه‌ای)

بازهٔ $[a,b]$ را به $n$ بازهٔ مساوی به عرض $h=\tfrac{b-a}{n}$ با گره‌های $x_k=a+kh$ تقسیم می‌کنیم. آنگاه

$T(h)=h\!\left[\tfrac12 f(x_0)+f(x_1)+\cdots+f(x_{n-1})+\tfrac12 f(x_n)\right],$

$S(h)=\frac{h}{3}\!\left[f(x_0)+4\!\!\sum_{\text{odd }k}\!\!f(x_k)+2\!\!\sum_{\text{even }k}\!\!f(x_k)+f(x_n)\right]\ (n\text{ even}).$

خطاهای سراسری آن‌ها عبارت‌اند از

$I-T(h)=-\frac{(b-a)\,h^{2}}{12}\,f''(\xi),\qquad I-S(h)=-\frac{(b-a)\,h^{4}}{180}\,f^{(4)}(\xi).$

پس خطای ذوزنقه‌ای مرکب از مرتبهٔ $O(h^{2})$ و سیمپسون مرکب از مرتبهٔ $O(h^{4})$ است — توان $h$ کلید حل هر مسئلهٔ کنکوری در این مبحث است.

مقایسه

درجهٔ دقت $d$ = بالاترین درجهٔ چندجمله‌ای که قاعده آن را به‌طور دقیق انتگرال می‌گیرد. ذوزنقه دارای $d=1$ است؛ سیمپسون به‌لطف تقارن یک درجهٔ رایگان به دست می‌آورد، پس $d=3$ است (برای توابع درجه سه دقیق است، هرچند یک درجه دو را برازش می‌دهد).

دو اهرم کنکوری

۱. علامت از تحدب. برای ذوزنقه، $f''>0$ (محدب) $\Rightarrow$ وتر هر بازه بالای منحنی قرار می‌گیرد $\Rightarrow$ $T(h)>I$، پس $I-T(h)<0$؛ مقعر بودن علامت را وارونه می‌کند. این نکته پرسش‌های چهارگزینه‌ای «کدام علامت؟» را بدون هیچ محاسبه‌ای حل می‌کند (q60).

۲. مقیاس‌بندی خطا هنگام نصف‌کردن گام. چون $I-T(h)\propto h^{2}$، نصف‌کردن $h\to h/2$ خطا را در $\bigl(\tfrac12\bigr)^2=\tfrac14$ ضرب می‌کند؛ برای سیمپسون ($\propto h^4$) این ضریب $\tfrac1{16}$ است. به‌طور کلی‌تر، برای قاعده‌ای با خطای $\propto h^{p}$،

$\frac{I-Q(h/2)}{I-Q(h)}=\frac{1}{2^{p}}.$

در q60 تابع زیر انتگرال $3x^2-2x+1$ درجه دو است، پس $f''=6$ ثابت است و فرمول خطای ذوزنقه دقیق می‌شود (بدون $\xi$ مجهول): نصف‌کردن $h$ از $\tfrac14$ به $\tfrac18$ خطا را در $\tfrac14$ مقیاس می‌دهد، و تحدب آن را منفی تثبیت می‌کند، که $-\tfrac1{16}\to-\tfrac1{64}$ می‌دهد. این جفت‌شدن (توان از فرمول، علامت از $f''$) کل ترفند است.

خطا واقعاً از کجا می‌آید

فرمول‌های بالا خطای برشی (گسسته‌سازی) هستند — بهای جایگزین‌کردن $f$ با یک چندجمله‌ای. روی یک ماشین واقعی، خطای گِردکردن نیز متحمل می‌شوید: جمع‌کردن مقادیر گره‌های متعدد در ممیز ثابت/شناور خطاهای گردکردن را انباشته می‌کند (هر یک $\le\tfrac12\,\text{ulp}$)، پدیده‌ای انتشاری که با ضرایب ضرب‌شده در هر جمله تقویت می‌شود (q56). ریزکردن $h$ خطای برشی را مانند $h^{p}$ کوچک می‌کند اما خطای گردکردن را بزرگ می‌کند (جمله‌های بیشتری برای جمع‌کردن)، پس دقت یک کف عملی دارد. همین ایدهٔ حساسیت از راه یک نگاشت خطی، اختلال‌های $X=A^{-1}b$ در q107 را نیز حاکم است، آنجا که $\partial x_i/\partial b_j=c_{ij}$ مستقیماً از روی وارون خوانده می‌شود.

نکتهٔ کنکوری: برای توابع زیر انتگرال چندجمله‌ای، درجهٔ دقت قاعده را با تابع زیر انتگرال هماهنگ کنید — سیمپسون برای هر تابع درجه سه دقیق است و ذوزنقه برای هر خط، پس خطا در آنجا صفر است و کل محاسبات را کنار می‌گذارید. وقتی درجه از دقت فراتر می‌رود، انتگرال را دوباره محاسبه نکنید: توان $h$ را بخوانید ($h^2$ برای ذوزنقه، $h^4$ برای سیمپسون)، به ازای هر نصف‌کردن در $1/2^{p}$ مقیاس دهید، و علامت را از علامت $f''$ (یا $f^{(4)}$) تثبیت کنید.