سوال ۲۸ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

ساختار را تشخیص دهید. ظاهر شدن ضریب $(1+x^2)$ و مشتق آن یعنی $2x$ در سرتاسر معادله، تغییر متغیر زیر را پیشنهاد می‌کند:

$t = \tan^{-1}x, \qquad \frac{dt}{dx} = \frac{1}{1+x^2}.$

مشتق‌ها را تبدیل کنید. با نماد نقطه برای $d/dt$:

$y' = \frac{dy}{dx} = \dot{y}\,\frac{1}{1+x^2}.$

با مشتق‌گیری دوباره و استفاده از $\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{1+x^2} = -\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$:

$y'' = \frac{\ddot{y}}{(1+x^2)^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2}\,\dot{y}.$

در معادلهٔ دیفرانسیل جای‌گذاری کنید. جمله به جمله:

$(1+x^2)^2\,y'' = \ddot{y} - 2x\,\dot{y},$ $(1+2x)(1+x^2)\,y' = (1+2x)(1+x^2)\cdot\frac{\dot{y}}{1+x^2} = (1+2x)\,\dot{y}.$

با جمع کردن هر سه جمله:

$\ddot{y} - 2x\,\dot{y} + (1+2x)\,\dot{y} + y = \ddot{y} + \dot{y} + y = 0.$

ضرایب متغیر دقیقاً حذف می‌شوند — یک معادلهٔ با ضرایب ثابت برحسب $t$.

معادلهٔ با ضرایب ثابت را حل کنید. معادلهٔ مشخصه عبارت است از:

$r^2 + r + 1 = 0 \;\Rightarrow\; r = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\,i.$

ریشه‌های مختلط مزدوج $\alpha \pm \beta i$ با $\alpha = -\tfrac{1}{2}$ و $\beta = \tfrac{\sqrt3}{2}$ نتیجه می‌دهند:

$y = e^{-\frac{1}{2}t}\left(c_1\cos\tfrac{\sqrt3}{2}t + c_2\sin\tfrac{\sqrt3}{2}t\right).$

جای‌گذاری معکوس $t = \tan^{-1}x$:

$y = e^{-\frac{1}{2}\tan^{-1}x}\left(c_1\cos\!\Big(\tfrac{\sqrt3}{2}\tan^{-1}x\Big) + c_2\sin\!\Big(\tfrac{\sqrt3}{2}\tan^{-1}x\Big)\right).$

این گزینهٔ ۳ است.

نکتهٔ کنکوری: هرگاه دیدید $(1+x^2)$ در $y'$ و $(1+x^2)^2$ در $y''$ ضرب شده است، تغییر متغیر $t=\tan^{-1}x$ را امتحان کنید (به‌طوری‌که $dt/dx = 1/(1+x^2)$)؛ این کار معادله را به ضرایب ثابت فرومی‌کاهد. پاسخِ نوسانیِ میرا، پیش‌ضریب $e^{-\frac12 t}$ را الزامی می‌کند — گزینه‌های $e^{\pm t}$ (که نیازمند $r=\pm1$، ریشه‌های حقیقی و بدون سینوس/کسینوس است) و $e^{+\frac12 t}$ (با علامت نادرستِ بخش حقیقی) را رد کنید.