حل معادلات دیفرانسیل خطی: جواب همگن + جواب خصوصی، لاپلاس و کوشی–اویلر

۱. تعریف و دامنهٔ کاربرد

یک معادلهٔ دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت از مرتبهٔ $n$ به شکل زیر است

آن را با عملگر دیفرانسیلی $D = \dfrac{d}{dt}$ به‌صورت فشردهٔ $L[y] = g(t)$ می‌نویسیم که در آن $L = a_n D^n + \cdots + a_1 D + a_0$. چون $L$ خطی است، کل فضای جواب عبارت است از

که در آن $y_h$ جواب عمومی معادلهٔ همگن $L[y]=0$ است (خانواده‌ای $n$-پارامتری، یعنی پاسخ طبیعی) و $y_p$ هر جواب خصوصی دلخواه از $L[y]=g$ است (پاسخ اجباری). این تجزیه ستون فقرات حالت گذرای مدارها، پاسخ سیستم‌های کنترل و هر سیستم با ضرایب ثابت در مهندسی برق است — بخش همگن فرکانس‌های طبیعی (قطب‌ها) را در خود دارد و بخش خصوصی منبع تحریک را دنبال می‌کند.

همین سازوکار معادلهٔ کوشی–اویلر (هم‌بُعد) را نیز پوشش می‌دهد؛ معادله‌ای که ضرایبش ثابت نیستند، بلکه توان‌هایی از متغیر هستند که با مرتبهٔ مشتق هماهنگ‌اند،

زیرا تغییر متغیر $x = e^{\tau}$ آن را به معادله‌ای با ضرایب ثابت تبدیل می‌کند. جواب‌های طبیعی آن توان‌های $x^{r}$ هستند، نه نمایی‌های $e^{rt}$.

۲. فرمول‌ها و قضایای کلیدی

معادلهٔ مشخصه (کمکی). با جای‌گذاری $y=e^{rt}$ در $L[y]=0$ چندجمله‌ای زیر به دست می‌آید

هر ریشه یک تابع پایهٔ همگن به جواب اضافه می‌کند:

معادلهٔ شاخص (کوشی–اویلر). با جای‌گذاری $y = x^{r}$ در $a x^{2}y'' + b x y' + c y = 0$ به $x^{r}\left[a\,r(r-1) + b\,r + c\right]=0$ می‌رسیم، پس

جدول ریشه‌ها همان جدول ضرایب ثابت است با $t \to \ln x$ (پس $e^{rt}\to x^{r}$):

برای $x<0$ در این فرمول‌ها $x$ را با $\lvert x\rvert$ جایگزین کنید. هم‌ارزی با حالت ضرایب ثابت از $x=e^{\tau}$ ناشی می‌شود که تحت آن

پس معادله به $a\,\ddot y + (b-a)\,\dot y + c\,y = g(e^{\tau})$ تبدیل می‌شود که معادلهٔ مشخصهٔ آن دقیقاً همان معادلهٔ شاخص است.

رفتار هر مُد کوشی–اویلر در نقطهٔ تکین و در بی‌نهایت. نقطهٔ $x=0$ یک نقطهٔ تکین معادله است، بنابراین لزومی ندارد جواب در آنجا متناهی بماند:

تبدیل لاپلاس (یک‌طرفه، ابزار اصلی مهندسی برق):

قضیهٔ کانولوشن — دلیل اینکه معادلات انتگرالی با لاپلاس حل می‌شوند:

۳. روش حل

مسیر A — همگن + خصوصی (حوزهٔ زمان).

1. $L[y]=0$ را حل کنید. چندجمله‌ای مشخصه را تشکیل دهید، ریشه‌هایش را بیابید و $y_h$ را از جدول بالا بسازید.
2. یک $y_p$ بیابید. برای تحریک $g(t)$ که از $e^{at}$، $\cos/\sin$ و چندجمله‌ای‌ها ساخته شده است، از ضرایب نامعین استفاده کنید: $y_p$ را از همان خانوادهٔ تابعی با ثابت‌های مجهول حدس بزنید. اگر حدس خودش جواب $L[y]=0$ باشد (تشدید/هم‌پوشانی)، آن را در $t^s$ ضرب کنید که $s$ تکرر آن ریشه است. برای $g$ دلخواه، از تغییر پارامترها استفاده کنید

3. جمع کنید و شرایط اولیه/مرزی را بر $y = y_h + y_p$ اعمال کنید تا ثابت‌های $c_1,\dots,c_n$ تعیین شوند.

مسیر B — تبدیل لاپلاس (مسائل مقدار اولیه و معادلات انتگرالی).

1. از کل معادله تبدیل بگیرید؛ مشتق‌ها به چندجمله‌ای‌هایی برحسب $s$ تبدیل می‌شوند که شرایط اولیه را خودبه‌خود در خود جذب می‌کنند، و هر انتگرال کانولوشن به حاصل‌ضرب $G(s)F(s)$ تبدیل می‌شود.
2. به‌صورت جبری $F(s)$ را به دست آورید — یک تابع گویا $\dfrac{N(s)}{D(s)}$ حاصل می‌شود؛ ریشه‌های $D(s)$ عبارت‌اند از ریشه‌های مشخصه (قطب‌های طبیعی) به‌همراه قطب‌هایی که تبدیلِ جملهٔ تحریک به آن‌ها می‌افزاید.
3. به کسرهای جزئی تجزیه کنید و جمله‌به‌جمله با استفاده از جدول تبدیل‌ها وارون بگیرید.

مسیر C — معادلات کوشی–اویلر.

1. شکل معادله را تشخیص دهید: هر جمله به شکل $x^{k}y^{(k)}$ است (توان $x$ با مرتبهٔ مشتق برابر است). نبودِ یک جمله فقط به معنای صفر بودن ضریب آن است.
2. معادلهٔ شاخص $a\,r(r-1)+b\,r+c=0$ را مستقیماً بنویسید — فراموش نکنید که $x^{2}y''$ سهم $r(r-1)$ می‌دهد، نه $r^{2}$.
3. جواب عمومی را از جدول ریشه‌ها بسازید (توان‌ها، یک عامل $\ln x$ برای ریشهٔ تکراری، $\cos/\sin$ از $\beta\ln x$ برای ریشه‌های مختلط).
4. جملهٔ تحریک: برای $g(x)=x^{m}$ (پس از نوشتن معادله به شکل $a x^{2}y''+bxy'+cy=x^{m}$) حدس $y_p = Cx^{m}$ را بزنید؛ اگر $m$ ریشهٔ معادلهٔ شاخص با تکرر $s$ باشد، به‌جای آن $y_p = Cx^{m}(\ln x)^{s}$ را حدس بزنید (یعنی $Cx^{m}\ln x$ برای ریشهٔ ساده و $Cx^{m}(\ln x)^{2}$ برای ریشهٔ مکرر). برای $g$ کلی، تغییر پارامترها را روی شکل استاندارد به کار ببرید (ابتدا بر $a x^{2}$ تقسیم کنید) یا به متغیر $\tau=\ln x$ بروید.
5. شرایط جانبی را اعمال کنید. این شرایط اغلب یک شرط مقداری به‌علاوهٔ یک شرط کیفی هستند — «کران‌دار (متناهی) در نزدیکی $x=0$» یا «کران‌دار وقتی $x\to\infty$». چنین شرطی معادله‌ای برای حل کردن نیست: ضریب هر مُدی را که آن را نقض می‌کند (جدول رفتار را ببینید) مجبور می‌کند صفر باشد. سپس از شرایط باقی‌مانده برای ثابت‌های باقی‌مانده استفاده کنید.

۴. مثال‌های کوتاه حل‌شده

(a) ضرایب ثابت با لاپلاس. معادلهٔ $y'' + 4y = \sin t$ را با $y(0)=0,\ y'(0)=1$ حل کنید.

با استفاده از $\mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^2+1}$ تبدیل می‌گیریم:

$Y$ را به دست می‌آوریم:

تجزیه به کسرهای جزئی روی جملهٔ دوم، $\dfrac{1}{(s^2+1)(s^2+4)} = \dfrac{1}{3}\!\left(\dfrac{1}{s^2+1} - \dfrac{1}{s^2+4}\right)$، می‌دهد

وارون می‌گیریم ($\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{\beta}{s^2+\beta^2}\}=\sin\beta t$):

جملهٔ $\sin 2t$ پاسخ طبیعی است (ریشه‌های $\pm 2i$)؛ جملهٔ $\tfrac13\sin t$ پاسخ اجباری است — دقیقاً همان تفکیک $y_h + y_p$ که جبر به‌طور خودکار آن را تولید می‌کند.

(b) کوشی–اویلر با شرط کران‌داری. $\gamma$ را چنان بیابید که جواب $x^{2}y'' + x\,y' - 9y = 0$ با $y(1)=2$، $y'(1)=\gamma$ وقتی $x\to 0^{+}$ کران‌دار بماند.

معادلهٔ شاخص: $r(r-1) + r - 9 = r^{2}-9 = 0$، پس $r=\pm 3$ و

مُد $x^{-3}$ در مبدأ بی‌کران می‌شود، پس کران‌داری $B=0$ را تحمیل می‌کند. آنگاه $y(1)=A=2$ که $y = 2x^{3}$ را می‌دهد و

وارسی با نگه‌داشتن هر دو ثابت: $A+B=2$ و $3A-3B=\gamma$ نتیجه می‌دهند $B=\dfrac{6-\gamma}{6}$ که دقیقاً وقتی $\gamma=6$ صفر می‌شود؛ هر $\gamma$ دیگری یک جملهٔ بی‌کران $x^{-3}$ باقی می‌گذارد.

۵. گونه‌های رایج و حالت‌های خاص

• تحریک تشدیدی. اگر $g(t)=\cos\omega_0 t$ و $\pm i\omega_0$ ریشه‌های مشخصه باشند، دامنه رشد می‌کند: $y_p \propto t\sin\omega_0 t$ (مدار LC بدون میرایی که در فرکانس تشدید تحریک شده است).
• کران‌داری در بی‌نهایت به‌جای مبدأ. انتخاب وارونه می‌شود: مُدهای با $r\le 0$ را نگه دارید و توان‌های رشدکننده را کنار بگذارید. برای معادلهٔ با ضرایب ثابت، شرط متناظر «کران‌دار وقتی $t\to\infty$» هر $e^{rt}$ با $\operatorname{Re} r>0$ را حذف می‌کند (و هر $t^{k}e^{rt}$، $k\ge1$، با $\operatorname{Re} r = 0$ را).
• هر دو ریشهٔ کوشی–اویلر قابل‌قبول. اگر هر دو نما شرط را برآورده کنند (مثلاً $r_1,r_2>0$ برای کران‌داری در $0$)، شرط کیفی هیچ اطلاعاتی نمی‌دهد و دو شرط معمولی لازم است.
• کوشی–اویلر انتقال‌یافته $a(x-x_0)^{2}y'' + b(x-x_0)y' + cy=0$: همان معادلهٔ شاخص، با جواب‌هایی برحسب توان‌های $(x-x_0)$؛ نقطهٔ تکین $x_0$ است.
• مرتبهٔ بالاتر. $x^{3}y'''$ سهم $r(r-1)(r-2)$ می‌دهد؛ در حالت کلی $x^{k}y^{(k)} \to r(r-1)\cdots(r-k+1)$.
• ضرایب متغیرِ قابل تبدیل با تغییر متغیر. یک تغییر متغیر مستقلِ خوش‌انتخاب می‌تواند ضرایب متغیر را به ثابت تبدیل کند — مثلاً $t=\tan^{-1}x$ (پس $dt/dx = 1/(1+x^2)$) برخی معادلات با وزن $(1+x^2)$ را به معادلات با ضرایب ثابت تبدیل می‌کند؛ سپس سازوکار ریشه‌های مشخصه را به کار ببرید و به متغیر اولیه بازگردید.
• معادلات انتگرالی ولترا $f(t) + \int_0^t k(t-y)f(y)\,dy = h(t)$: لاپلاس کانولوشن را به $K(s)F(s)$ تبدیل می‌کند، پس $F(s)=H(s)/(1+K(s))$ — جبر محض، سپس وارون بگیرید.
• دستگاه‌ها $\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}$: همان ایده با معادلهٔ مشخصهٔ ماتریسی $\det(A-\lambda I)=0$؛ جواب‌ها $e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i$ هستند.

تلهٔ رایج: در معادلهٔ کوشی–اویلر جملهٔ $x^{2}y''$ سهم $r(r-1)$ می‌دهد، پس معادلهٔ شاخصِ $x^{2}y'' + cy = 0$ برابر $r^{2}-r+c=0$ است، نه $r^{2}+c=0$. همچنین ریشهٔ تکراری $r=0$ در مبدأ کران‌دار نیست: جواب دوم آن $\ln x$ است.

نکتهٔ کنکوری: شکل کیفی جواب را پیش از محاسبهٔ ثابت‌ها از روی ریشه‌ها بخوانید. ریشه‌های حقیقی $\Rightarrow$ نمایی‌های خالص (بدون سینوس/کسینوس)؛ ریشه‌های مختلط $\alpha\pm\beta i \Rightarrow$ پوش $e^{\alpha t}$ ضرب در $\cos/\sin\beta t$، که میرا است اگر و تنها اگر $\alpha<0$. همین به‌تنهایی گزینه‌های با علامت یا شکل نادرست را در چند ثانیه حذف می‌کند. هرگاه $\int_0^t k(t-y)f(y)\,dy$ ظاهر شد، انتگرال نگیرید — این یک کانولوشن است؛ با لاپلاس آن را به حاصل‌ضرب تبدیل کنید و جبری حل کنید. و وقتی شرط کران‌داری تنها یک توان کوشی–اویلر $y=Ax^{r}$ باقی می‌گذارد، آنگاه همه‌جا $x\,y'/y = r$ است، پس $y'(1) = r\,y(1)$ بدون هیچ جبر اضافه‌ای.