سوال ۲۸ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴

۱. تبدیل دستگاه به یک معادلهٔ دیفرانسیل تکی برحسب $x$

از معادلهٔ اول $y$ را به دست می‌آوریم:

$y = x' - x - e^{2t} \quad\Rightarrow\quad y' = x'' - x' - 2e^{2t}.$

هر دو را در معادلهٔ دوم $y' = 4x + y - e^{-t}$ جایگذاری می‌کنیم:

$x'' - x' - 2e^{2t} = 4x + \left(x' - x - e^{2t}\right) - e^{-t}.$

با مرتب کردن جمله‌ها:

$x'' - 2x' - 3x = e^{2t} - e^{-t}.$

۲. ریشه‌های معادلهٔ مشخصه (برای تشخیص تشدید)

$r^{2} - 2r - 3 = (r-3)(r+1) = 0 \quad\Rightarrow\quad r_1 = 3,\; r_2 = -1.$

(به‌طور معادل، ماتریس ضرایب $A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 4 & 1\end{pmatrix}$ دارای $\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)^2 - 4 = 0 \Rightarrow \lambda = 3, -1$ است.)

پس $e^{2t}$ تشدیدی نیست، ولی $e^{-t}$ با ریشهٔ $r_2 = -1$ تشدیدی هست — بنابراین جملهٔ آزمون آن باید یک عامل اضافی $t$ داشته باشد.

۳. جواب خصوصی برای تحریک $e^{2t}$

فرض می‌کنیم $x_1 = A e^{2t}$. آنگاه $x_1'' - 2x_1' - 3x_1 = (4 - 4 - 3)Ae^{2t} = -3Ae^{2t}$، پس

$-3A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{1}{3} \quad\Rightarrow\quad x_1 = -\frac{1}{3}e^{2t}.$

۴. جواب خصوصی برای تحریک $-e^{-t}$ (حالت تشدید)

فرض می‌کنیم $x_2 = B\,t\,e^{-t}$:

$x_2' = B(1-t)e^{-t}, \qquad x_2'' = B(t-2)e^{-t}.$

$x_2'' - 2x_2' - 3x_2 = B\big[(t-2) - 2(1-t) - 3t\big]e^{-t} = B(-4)e^{-t}.$

این را برابر $-e^{-t}$ قرار می‌دهیم:

$-4B = -1 \quad\Rightarrow\quad B = \frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad x_2 = \frac{t}{4}e^{-t}.$

۵. برهم‌نهی

$\boxed{\,x_p(t) = -\frac{1}{3}e^{2t} + \frac{t}{4}e^{-t}\,}$

(جواب کامل، بخش همگن $c_1e^{3t} + c_2e^{-t}$ را نیز شامل می‌شود، اما در صورت سؤال تنها جواب خصوصی خواسته شده است.)

۶. بررسی با جایگذاری مستقیم

با $x_p = -\tfrac13 e^{2t} + \tfrac{t}{4}e^{-t}$:

• $x_p' = -\tfrac23 e^{2t} + \tfrac14(1-t)e^{-t}$
• $x_p'' = -\tfrac43 e^{2t} + \tfrac14(t-2)e^{-t}$

$x_p'' - 2x_p' - 3x_p = \left(-\tfrac43 + \tfrac43 + 1\right)e^{2t} + \tfrac14\big[(t-2) - 2(1-t) - 3t\big]e^{-t} = e^{2t} - e^{-t}. \checkmark$

این با گزینهٔ ۲ مطابقت دارد.

نکتهٔ کنکوری: پیش از انتخاب فرم جواب آزمون، همواره توان‌های تابع تحریک را با مقادیر ویژهٔ دستگاه (= ریشه‌های معادلهٔ مشخصهٔ کاهش‌یافته) مقایسه کنید. اینجا $\lambda = 3, -1$: تحریک $e^{2t}$ به یک نمایی ساده منجر می‌شود، در حالی که تحریک $e^{-t}$ تشدیدی است و باید عامل $t$ بگیرد. همین یک مشاهده گزینه‌ها را غربال می‌کند — تنها گزینه‌هایی که هم‌زمان جملهٔ $e^{2t}$ ساده و جملهٔ $t\,e^{-t}$ دارند (گزینه‌های ۲ و ۴) می‌توانند درست باشند و علامت $A=-\tfrac13$ کار را تمام می‌کند.