سوال ۳۱ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

ایده. معادلهٔ داده‌شده یک معادلهٔ ریکاتی است، $y' = q_0(x) + q_1(x)\,y + q_2(x)\,y^{2}$، که در اینجا

هرگاه یک جواب خصوصی $y_1$ معلوم باشد، تغییر متغیر $y = y_1 + \dfrac{1}{u}$ معادله را به یک معادلهٔ مرتبهٔ اول خطی برحسب $u$ تبدیل می‌کند.

گام ۱ — بررسی جواب خصوصی. با $y_1 = \dfrac{2}{x}$، $y_1' = -\dfrac{2}{x^{2}}$:

هر دو طرف صفر می‌شوند، پس $y_1$ واقعاً یک جواب است.

گام ۲ — جای‌گذاری $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$، بنابراین $y' = -\dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{u'}{u^{2}}$.

طرف چپ:

طرف راست:

با ضرب در $-u^{2}$:

گام ۳ — حل معادلهٔ خطی. عامل انتگرال‌ساز برابر است با $\mu = e^{-\int \frac{2}{x}\,dx} = x^{-2}$:

گام ۴ — جواب عمومی.

این همان گزینهٔ ۲ است و با کلید رسمی مطابقت دارد.

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند. با نوشتن $y = \dfrac{2}{x} + v$، جملهٔ اضافی باید در معادلهٔ برنولی $v' = -\dfrac{2}{x}\,v - v^{2}$ صدق کند. هر گزینه را در $c = 0$ می‌آزماییم:

گزینهٔ ۴ در $c = 0$ با گزینهٔ ۲ یکی می‌شود، اما به‌ازای $c \ne 0$ مقدار $v = -\dfrac{1}{x} + c\,x^{2}$ آن نتیجه می‌دهد $v' = \dfrac{1}{x^{2}} + 2cx$ در حالی که طرف راست برابر $\dfrac{1}{x^{2}} - c^{2}x^{4}$ است، پس جواب معادله نیست.

نکتهٔ کنکوری: برای معادلهٔ ریکاتی با یک جواب معلوم $y_1$، تغییر متغیر $y = y_1 + \dfrac{1}{u}$ را به کار ببرید: حاصل همواره معادلهٔ خطی $u' + \left(q_1 + 2q_2 y_1\right)u = -q_2$ است. در اینجا $q_1 = \dfrac{2}{x}$, $q_2 = -1$, $y_1 = \dfrac{2}{x}$، که بی‌درنگ $u' - \dfrac{2}{x}u = 1$ را می‌دهد. پاسخ باید به شکل $y_1 + \dfrac{1}{u}$ باشد و ثابت درون مخرج قرار گیرد — تنها گزینهٔ ۲ این شکل را با $u$ درست دارد.