هرگاه جواب معادلهٔ دیفرانسیل x^2y'' - 2y = 0 با شرایط نهایی y(1) = 1 و y'(1) = β ، در نزدیکی x = 0 کراندار باشد، مقدار β کدام است؟

سوال ۳۲ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

معادلات دیفرانسیلآسانمعادلات خطی با ضرایب ثابت

اهمیت

۰/۵

هرگاه جواب معادلهٔ دیفرانسیل $x^{2}y'' - 2y = 0$ با شرایط نهایی $y(1) = 1$ و $y'(1) = \beta$ ، در نزدیکی $x = 0$ کران‌دار باشد، مقدار $\beta$ کدام است؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ C — ۲

پاسخ تشریحی

گام ۱ — تشخیص معادلهٔ کوشی–اویلر (هم‌بعد). هر جمله به شکل $x^{k}y^{(k)}$ است، پس $y = x^{r}$ را امتحان می‌کنیم:

x^{2}\cdot r(r-1)x^{r-2} - 2x^{r} = 0 \;\Rightarrow\; r(r-1) - 2 = 0 \;\Rightarrow\; r^{2} - r - 2 = (r-2)(r+1) = 0

بنابراین $r_1 = 2$ و $r_2 = -1$ و جواب عمومی برابر است با

y(x) = A x^{2} + \frac{B}{x}

گام ۲ — اعمال شرط کران‌داری در نزدیکی $x = 0$ . وقتی $x \to 0$ ، جملهٔ $Ax^{2} \to 0$ ولی $\dfrac{B}{x}$ بی‌کران می‌شود، مگر آنکه ضریب آن صفر باشد. در نتیجه

B = 0 \;\Rightarrow\; y(x) = A x^{2}

گام ۳ — اعمال شرایط در $x = 1$ .

y(1) = A = 1 \;\Rightarrow\; y = x^{2}, \qquad y'(x) = 2x \;\Rightarrow\; \beta = y'(1) = 2

بررسی بدون استفاده از میان‌بُر کران‌داری. با نگه‌داشتن هر دو ثابت، از $y(1) = A + B = 1$ و $y'(1) = 2A - B = \beta$ به دست می‌آید

A = \frac{1+\beta}{3}, \qquad B = \frac{2-\beta}{3}

و $B = 0$ دقیقاً وقتی برقرار است که $\beta = 2$ . برای گزینه‌های دیگر $B \ne 0$ است و جواب در مبدأ بی‌کران می‌شود:

$\beta$	$A$	$B$	رفتار در نزدیکی $x=0$
$4$	$\tfrac{5}{3}$	$-\tfrac{2}{3}$	بی‌کران
$3$	$\tfrac{4}{3}$	$-\tfrac{1}{3}$	بی‌کران
$2$	$1$	$0$	کران‌دار، $y = x^{2}$
$1$	$\tfrac{2}{3}$	$\tfrac{1}{3}$	بی‌کران

پاسخ گزینهٔ ۳ است، $\beta = 2$ .

نکتهٔ کنکوری: عبارت «کران‌دار در نزدیکی نقطهٔ تکین» صرفاً همهٔ جمله‌های با توان منفی (و جمله‌های لگاریتمی) جواب کوشی–اویلر را حذف می‌کند. آنچه در اینجا باقی می‌ماند تنها یک توان $y = Ax^{r}$ با $r = 2$ است، و برای هر توان خالص $y'(1)/y(1) = r$ — پس $\beta = r\cdot y(1) = 2$ بدون هیچ محاسبهٔ جبری دیگری.

#cauchy-euler#equidimensional-equation#boundedness-condition#second-order-ode#initial-conditions

کارت‌های مرتبط

مفهوممعادلات دیفرانسیل

حل معادلات دیفرانسیل خطی: جواب همگن + جواب خصوصی، لاپلاس و کوشی–اویلر

هر معادلهٔ دیفرانسیل خطی به‌صورت جواب همگن (ریشه‌های مشخصه) به‌علاوهٔ یک جواب خصوصی حل می‌شود؛ یا با روش ضرایب نامعین / تغییر پارامترها، یا با تبدیل لاپلاس که شرایط اولیه و معادلات انتگرالی کانولوشنی را هم پوشش می‌دهد؛ معادلات کوشی–اویلر از همان منطق ریشه‌ها با توان‌های x^r پیروی می‌کنند و شرایط کران‌داری تعیین می‌کنند کدام توان‌ها باقی بمانند.

linear-odecharacteristic-equationhomogeneous-particularlaplace-transform