اگر P_n(t) نمایش چندجملهای لژاندر درجهٔ n باشد، مقدار ∫_(-1)^1 P_6^2(t) dt کدام است؟

مهندسی برق 1400

سوال 32 سوال 34

سوال ۳۳ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

معادلات دیفرانسیلآسانحل معادلات به روش سری

اهمیت

۰/۵

اگر $P_n(t)$ نمایش چندجمله‌ای لژاندر درجهٔ $n$ باشد، مقدار $\displaystyle\int_{-1}^{1} P_6^{2}(t)\,dt$ کدام است؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ D — $\dfrac{۲}{۱۳}$

پاسخ تشریحی

نکتهٔ کلیدی — تعامد چندجمله‌ای‌های لژاندر روی $[-1,1]$ . چندجمله‌ای‌های لژاندر با تابع وزن $1$ متعامدند و مربع نُرم آن‌ها برابر است با

\int_{-1}^{1} P_m(t)\,P_n(t)\,dt = \frac{2}{2n+1}\,\delta_{mn}.

به‌کارگیری رابطه با $m=n=6$ :

\int_{-1}^{1} P_6^{2}(t)\,dt = \frac{2}{2\cdot 6+1} = \frac{2}{13}.

این همان گزینهٔ ۴ است.

چرا نُرم برابر $\frac{2}{2n+1}$ است (اثبات با تابع مولد). تابع مولد عبارت است از

\frac{1}{\sqrt{1-2tx+x^{2}}} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(t)\,x^{n}, \qquad \lvert x\rvert<1 .

دو طرف را به توان دو می‌رسانیم و روی $t\in[-1,1]$ انتگرال می‌گیریم. در سمت راست، تعامد همهٔ جمله‌های ضربی متقاطع را صفر می‌کند و فقط $\sum_n x^{2n}\int_{-1}^{1}P_n^{2}(t)\,dt$ باقی می‌ماند. در سمت چپ،

\int_{-1}^{1}\frac{dt}{1-2tx+x^{2}} = -\frac{1}{2x}\ln\left(1-2tx+x^{2}\right)\Big|_{t=-1}^{t=1} = \frac{1}{x}\ln\frac{1+x}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{2n+1}\,x^{2n}.

با برابر قرار دادن ضرایب $x^{2n}$ به‌دست می‌آید $\int_{-1}^{1}P_n^{2}(t)\,dt=\frac{2}{2n+1}$ .

راستی‌آزمایی برای $n$ های کوچک: $P_0=1$ نتیجه می‌دهد $\int_{-1}^{1}1\,dt=2=\frac{2}{1}$ ؛ $P_1=t$ نتیجه می‌دهد $\int_{-1}^{1}t^{2}\,dt=\frac{2}{3}$ ؛ $P_2=\tfrac12(3t^{2}-1)$ نتیجه می‌دهد $\tfrac14\left(\tfrac{18}{5}-4+2\right)=\frac{2}{5}$ . همگی با $\frac{2}{2n+1}$ سازگارند.

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینه	مقدار	خطایی که آن را تولید می‌کند
1	$\frac{1}{13}$	استفاده از $\frac{1}{2n+1}$ — جا انداختن ضریب $2$ (طول بازهٔ $[-1,1]$ ).
2	$\frac{1}{11}$	هر دو خطا با هم: $\frac{1}{2n-1}$ .
3	$\frac{2}{11}$	استفاده از $\frac{2}{2n-1}$ ، یعنی نُرم $P_5$ به‌جای $P_6$ .

نکتهٔ کنکوری: رابطهٔ $\int_{-1}^{1}P_n^{2}\,dt=\frac{2}{2n+1}$ را به خاطر بسپارید و ثابت آن را در دو ثانیه از $n=0$ بازسازی کنید: $P_0=1$ باید مقدار $2$ بدهد، پس صورت $2$ و مخرج $2n+1$ است (نه $2n-1$ ).

#legendre-polynomials#orthogonality#norm#generating-function#special-functions

کارت‌های مرتبط

مفهوممعادلات دیفرانسیل

حل سری‌ای: روش فروبنیوس، معادلات بسل و لژاندر

معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر در نقاط عادی با سری توانی و در نقاط تکین منظم با سری فروبنیوس x^r∑ a_n x^n حل می‌شوند؛ در آن‌جا معادلهٔ شاخص (indicial) نماها را تعیین می‌کند و مشخص می‌سازد که آیا جواب دوم شامل جملهٔ ln x هست یا نه — همان دستگاهی که پشت توابع بسل و لژاندر قرار دارد.

frobenius-methodseries-solutionindicial-equationregular-singular-point