حل سری‌ای: روش فروبنیوس، معادلات بسل و لژاندر

۱. ایدهٔ اصلی: نقاط عادی، نقاط تکین و اینکه چرا سری

یک معادلهٔ دیفرانسیل خطی مرتبهٔ دوم با ضرایب متغیر

$P(x)\,y'' + Q(x)\,y' + R(x)\,y = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0,\qquad p=\frac{Q}{P},\ q=\frac{R}{P},$

نسخه‌ای بر پایهٔ ریشه‌های معادلهٔ مشخصه ندارد. در عوض جوابی به شکل یک سری فرض می‌کنیم و می‌گذاریم خودِ معادله ضرایب آن را تعیین کند. همه چیز به این بستگی دارد که $p,q$ در نقطهٔ بسط $x_0$ چقدر بدرفتار می‌شوند:

قضیهٔ فوکس (Fuchs). در یک نقطهٔ عادی، معادله دو جواب سری‌توانی مستقل خطی دارد و شعاع همگرایی آن‌ها دست‌کم برابر فاصلهٔ $x_0$ تا نزدیک‌ترین نقطهٔ تکین $p$ یا $q$ در صفحهٔ مختلط است. پس سری صرفاً یک ترفند صوری نیست: روی یک قرص قابل پیش‌بینی همگراست.

این موضوع در مهندسی برق اهمیت دارد، چون معادلاتی که از جداسازی $\nabla^2$ در مختصات استوانه‌ای به دست می‌آیند (موج‌برها، میدان‌های کواکسیال، مدهای پوسته/غشا، اثر پوستی) معادلات بسل هستند، و در مختصات کروی (الگوی تشعشع آنتن، مسائل پتانسیل، هارمونیک‌های کروی) معادلات لژاندر. هر دو در مبدأ طبیعی هندسه تکین‌اند — و دقیقاً به همین دلیل ابزار درست، فروبنیوس است نه سری توانی ساده.

۲. فرمول‌ها و قضایای کلیدی

داده‌های فروبنیوس. برای یک نقطهٔ تکین منظم در $x_0=0$ تعریف می‌کنیم

$p_0=\lim_{x\to 0} x\,p(x),\qquad q_0=\lim_{x\to 0} x^{2}q(x).$

معادلهٔ شاخص (از پایین‌ترین توان $x^{r-2}$ پس از جای‌گذاری $y=\sum a_n x^{n+r}$ با $a_0\ne0$):

$r(r-1) + p_0\,r + q_0 = 0,$

با ریشه‌های $r_1 \ge r_2$ (در حالت مختلط $\operatorname{Re} r_1 \ge \operatorname{Re} r_2$ را بگیرید). ریشهٔ بزرگ‌تر $r_1$ همواره یک سری فروبنیوس واقعی تولید می‌کند. جواب دوم از این سه‌حالتی پیروی می‌کند:

کاهش مرتبه (آبل). با داشتن یک جواب $y_1$، جواب مستقل دوم چنین است:

$y_2 = y_1\!\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_1^{2}}\,dx \qquad\Longleftrightarrow\qquad y_2=y_1 V,\quad V'(x)=\frac{e^{-\int p\,dx}}{y_1^{2}} .$

این سریع‌ترین راه رسیدن به جواب لگاریتمی است: هر جملهٔ $1/x$ درون $V'$ به‌طور خودکار به $\ln x$ انتگرال‌گیری می‌شود.

معادلهٔ بسل مرتبهٔ $\nu$:

$x^{2}y'' + x\,y' + \left(x^{2}-\nu^{2}\right)y = 0,\qquad r^{2}-\nu^{2}=0\ \Rightarrow\ r=\pm\nu,$ $J_{\nu}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu},\qquad J_0(x)=1-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{4}}{64}-\cdots$

برای $\nu\notin\mathbb{Z}$ زوج $\{J_\nu,J_{-\nu}\}$ مستقل است؛ اما برای $\nu=n\in\mathbb{Z}$ داریم $J_{-n}=(-1)^{n}J_n$، بنابراین جواب دوم تابع نویمان $Y_\nu$ است که شامل $\ln x$ بوده و در مبدأ واگرا می‌شود. اتحادهای پرکاربرد:

$J_{\nu-1}(x)+J_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}{x}J_\nu(x),\qquad \frac{d}{dx}\left[x^{\nu}J_\nu(x)\right]=x^{\nu}J_{\nu-1}(x),\qquad J_0'=-J_1,$ $J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,\sin x,\qquad J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,\cos x .$

معادلهٔ لژاندر:

$\left(1-x^{2}\right)y'' - 2x\,y' + n(n+1)\,y = 0 .$

در این‌جا $x=0$ یک نقطهٔ عادی است (شعاع همگرایی $1$، که تکینگی‌های $x=\pm1$ آن را تعیین می‌کنند). بازگشتی

$a_{m+2}=\frac{m(m+1)-n(n+1)}{(m+1)(m+2)}\,a_m$

هرگاه $n$ عددی صحیح و نامنفی باشد قطع می‌شود و چندجمله‌ای‌های لژاندر را می‌دهد:

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n} \quad\text{(Rodrigues)},\qquad \int_{-1}^{1}P_m P_n\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{mn},$ $(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)\,x\,P_n(x)-n\,P_{n-1}(x),\qquad P_n(1)=1 .$

شاخهٔ قطع‌نشونده $Q_n(x)$ است که شامل $\tfrac12\ln\frac{1+x}{1-x}$ بوده و در $x=\pm1$ واگرا می‌شود — به همین دلیل پتانسیل‌های فیزیکی تنها $P_n$ را نگه می‌دارند.

۳. روش — چگونه واقعاً یکی را حل کنیم

۱. نقطهٔ بسط را دسته‌بندی کنید. $p,q$ را محاسبه کنید؛ تحلیلی‌بودن $xp$ و $x^{2}q$ را بیازمایید. عادی $\Rightarrow$ سری توانی ساده؛ تکین منظم $\Rightarrow$ فروبنیوس. ۲. جای‌گذاری کنید $y=\sum_{n\ge0}a_n x^{n+r}$ (با $r=0$ در نقطهٔ عادی) و جمله‌به‌جمله مشتق بگیرید. ۳. اندیس‌ها را دوباره تنظیم کنید تا هر مجموع همان توان $x$ را داشته باشد، سپس جمع‌آوری کنید. ۴. پایین‌ترین توان $\Rightarrow$ معادلهٔ شاخص $r(r-1)+p_0r+q_0=0$؛ $r_1,r_2$ را بیابید. ۵. توان عمومی $\Rightarrow$ رابطهٔ بازگشتی $a_n = f(n,r)\,a_{n-k}$. با $r=r_1$ به $y_1$ برسید؛ بررسی کنید آیا $r=r_2$ مخرجی را صفر می‌کند (این دقیقاً در $n=N=r_1-r_2$ رخ می‌دهد). ۶. جواب دوم. اگر رابطهٔ بازگشتی در $r_2$ سالم بماند، همان را بگیرید. اگر شکست (یا ریشه‌ها بر هم منطبق بودند)، از کاهش مرتبه استفاده کنید، یا فرضِ لگاریتمی جدول را جای‌گذاری کرده و ضرایب را تطبیق دهید. ۷. بازبینی نهایی شعاع همگرایی، و در یک نقطهٔ عادی، شناسایی دو جواب مستقل به‌عنوان شاخه‌های زوج/فرد تولیدشده توسط ثابت‌های آزاد $a_0$ و $a_1$.

۴. یک مثال کوچک حل‌شده

معادلهٔ $2x\,y'' + y' + y = 0$ را در نزدیکی $x=0$ حل کنید.

دسته‌بندی. $p=\dfrac{1}{2x}$، $q=\dfrac{1}{2x}$، پس $xp=\tfrac12$ و $x^{2}q=\tfrac{x}{2}$ تحلیلی‌اند: $x=0$ یک نقطهٔ تکین منظم با $p_0=\tfrac12$ و $q_0=0$ است.

معادلهٔ شاخص.

$r(r-1)+\tfrac12 r = r\left(r-\tfrac12\right)=0 \;\Rightarrow\; r_1=\tfrac12,\ r_2=0 .$

اختلاف $\tfrac12$ عدد صحیح نیست، پس دو سری فروبنیوس تمیز و بدون لگاریتم داریم.

رابطهٔ بازگشتی. با $y=\sum_{n\ge0}a_n x^{n+r}$، ضریب $x^{n+r-1}$ می‌دهد

$a_n\left[2(n+r)(n+r-1)+(n+r)\right] + a_{n-1}=0 \;\Longrightarrow\; a_n\,(n+r)\left(2n+2r-1\right) = -a_{n-1}.$

شاخهٔ $r=\tfrac12$: $a_n\,n(2n+1)=-a_{n-1}$، پس با $a_0=1$: $a_1=-\tfrac13$، $a_2=\tfrac{1}{30}$، $a_3=-\tfrac{1}{630}$،

$y_1(x)=x^{1/2}\left(1-\frac{x}{3}+\frac{x^{2}}{30}-\frac{x^{3}}{630}+\cdots\right).$

شاخهٔ $r=0$: $a_n\,n(2n-1)=-a_{n-1}$، پس $a_1=-1$، $a_2=\tfrac16$، $a_3=-\tfrac{1}{90}$،

$y_2(x)=1-x+\frac{x^{2}}{6}-\frac{x^{3}}{90}+\cdots$

جواب عمومی $y=c_1y_1+c_2y_2$. توجه کنید که نماهای $\tfrac12$ و $0$ که جلوی دو سری نشسته‌اند، همان ریشه‌های معادلهٔ شاخص‌اند — خودِ سری‌ها فقط آن‌ها را می‌آرایند.

۵. گونه‌ها و حالت‌های خاص

• کوشی–اویلر $x^{2}y''+bxy'+cy=0$ حالت تباهیدهٔ فروبنیوس است: رابطهٔ بازگشتی برای $n\ge1$ ایجاب می‌کند $a_n=0$، و تنها $y=x^{r}$ با $r(r-1)+br+c=0$ می‌ماند. ریشهٔ مضاعف در آن‌جا $x^{r}\ln x$ می‌دهد — همان لگاریتم، منتها بدون سری.
• ریشه‌های شاخص برابر، همیشه لگاریتم. بسل مرتبهٔ $0$ ($x^{2}y''+xy'+x^{2}y=0$، با ریشه‌های $r=0,0$) نمونهٔ کهن‌الگویی است: $y_2=Y_0$ شامل $J_0(x)\ln x$ است.
• ریشه‌هایی با اختلاف صحیح، ممکن است لگاریتم بدهند یا ندهند. ثابت $k$ می‌تواند صفر شود: برای $\nu=\tfrac12$ ریشه‌های بسل $\pm\tfrac12$ به اندازهٔ $1$ اختلاف دارند، با این حال $J_{-1/2}$ یک سری خالص است ($k=0$). هرگز صرفاً از روی فاصلهٔ نماها وجود لگاریتم را فرض نکنید — رابطهٔ بازگشتی را در $n=N$ بیازمایید.
• معادلات تحویل‌پذیر به بسل. $x^{2}y''+x y'+\left(\lambda^{2}x^{2}-\nu^{2}\right)y=0$ جواب‌های $J_\nu(\lambda x),Y_\nu(\lambda x)$ دارد؛ به‌طور کلی‌تر $y=x^{a}Z_\nu\!\left(bx^{c}\right)$ خانوادهٔ بزرگی را پوشش می‌دهد. جای‌گذاری $x^{2}\to -x^{2}$ معادلهٔ بسل تعدیل‌شده با $I_\nu,K_\nu$ را می‌دهد (نمایی و غیرنوسانی — میدان‌های میرا).
• قطع‌شدن به‌عنوان شرط ویژه‌مقدار. سری لژاندر (و هرمیت و لاگر) باید قطع شود تا جواب روی بازهٔ بسته کران‌دار بماند؛ همین الزام پارامتر را به $n\in\mathbb{Z}_{\ge0}$ کوانتیده می‌کند و خانواده‌های چندجمله‌ای متعامد را می‌سازد که به‌عنوان پایهٔ بسط به کار می‌روند.
• رابطهٔ بازگشتی دوجمله‌ای در برابر سه‌جمله‌ای. اگر معادله فقط $a_n$ را به $a_{n-1}$ پیوند دهد، فرم بسته آسان است؛ اما پیوند با $a_{n-2}$ جواب را به دو زیرسری زوج و فرد می‌شکند (مانند لژاندر و ایری).

تلهٔ رایج: $p_0$ را از معادله در فرم استاندارد $y''+p y'+q y=0$ محاسبه کنید، یعنی پس از تقسیم بر ضریب $y''$، و علامت جملهٔ $y'$ را حفظ کنید. برای $x y'' - A y' + x y = 0$ داریم $p=-A/x$، پس $p_0=-A$ و ریشه‌های شاخص $r=0,\;1+A$ — نوشتن $A-1$ یا $1-A$ بی‌سروصدا یکی از گزینه‌های نادرستِ عمداً کاشته‌شده را تولید می‌کند.

نکتهٔ کنکوری: به‌ندرت به کل رابطهٔ بازگشتی نیاز دارید. توان $x$ جلوی هر سریِ داده‌شده همان یک ریشهٔ معادلهٔ شاخص است، پس مجموعهٔ ریشه‌ها را مستقیماً از روی فرم جواب‌های داده‌شده بخوانید و با $r(r-1)+p_0r+q_0=0$ تطبیق دهید. و وقتی مسئله $y_1$ را (مثلاً $J_0$) به شما می‌دهد و ضرایب جواب دوم را می‌خواهد، از کاهش مرتبه $V'=e^{-\int p}/y_1^{2}$ بروید — بسط $1/y_1^{2}$ با $\frac{1}{1-u}=1+u+u^{2}+\cdots$ تا مرتبهٔ لازم بسیار سریع‌تر از تطبیق جمله‌به‌جملهٔ فرضِ لگاریتمی است.