حل معادلات به روش سری

اگر J_0(x) = ۱ - (x/۲)^۲ + ۱/۴(x/۲)^۴ - ۱/۳۶(x/۲)^۶ + ⋯ و y_۲(x) = J_0(x)V(x) دو جواب مستقل خطی از معادله دیفرانسیل بسل xy'' + y' + xy = 0 باشند به‌طوری‌که V(x) = ln x + ∑_(i=۰)^(∞) a_i x^i ، آنگاه…

فرض کنید y_۱(x) = ∑_(n=۰)^(∞) c_n x^n و y_۲(x) = k y_۱(x)ln x + x^۴∑_(n=۰)^(∞) a_n x^n ، جواب‌های مستقل خطی معادله دیفرانسیل xy'' - Ay' + xy = ۰ باشد. مقدار A کدام است؟

حاصل ∫ x^۳ J_۰(x) dx ، کدام است؟ (راهنمایی: (x^λ J_λ(x))' = x^λ J_(λ-۱)(x) , J_(λ+۱)(x) + J_(λ-۱)(x) = (۲λ)/x J_λ(x) )

معادلهٔ دیفرانسیل x^2y'' - x(α + x)y' + (β + x^2)y = 0 دارای جوابی به‌صورت y = c_1y_1(x) + c_2y_2(x) حول x = 0 است، که در آن y_1(x) = x^2(1 + ∑_(n=1)^(∞) a_nx^n), y_2(x) = y_1(x)ln x + x^2∑_(n=1)^(∞)…

به‌ازای کدام مقدار مثبت a، شعاع همگرایی پاسخ سری معادلهٔ دیفرانسیل (x^۲+a^۲)y'' + ۲xy' + ۴x^۲y = ۰ در اطراف نقطه x = -۳/۲ برابر R = ۵/۲ خواهد بود؟

اگر P_n(t) نمایش چندجمله‌ای لژاندر درجهٔ n باشد، مقدار ∫_(-1)^1 P_6^2(t) dt کدام است؟