سوال ۴۱ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

چون شبکه شامل منابع وابسته است (منبع جریان $4v_1$ و منبع ولتاژ $2i$)، مقاومت معادل را نمی‌توان با ساده‌سازی سری/موازی ساده به دست آورد. از روش منبع آزمون استفاده می‌کنیم: منابع مستقل را غیرفعال می‌کنیم و یک ولتاژ آزمون $V$ را به دو سر پایانه‌های $a$–$b$ اعمال می‌کنیم، آنگاه $R_{ab}=V/I$.

غیرفعال‌کردن منابع مستقل. منبع ولتاژ مستقل را اتصال‌کوتاه می‌کنیم $v_s\to 0$؛ منبع جریان مستقل را باز می‌کنیم $i_s\to 0$. منابع وابسته باقی می‌مانند.

پیامدها.

• با باز بودن $i_s$، گره $Y$ فقط به مقاومت $3\,\Omega$ متصل است، بنابراین هیچ جریانی از آن عبور نمی‌کند. از این رو $V_Y=V_P$ و $v_1=V_Y=V_P.$
• با $v_s=0$، شاخهٔ میانی به تنها منبع وابستهٔ $2i$ کاهش می‌یابد و در نتیجه $V_P=2i\ \Rightarrow\ i=\frac{V_P}{2}.$ این جریان $i$ دقیقاً همان جریانی است که در شاخهٔ میانی به سمت پایین جاری می‌شود.

KCL در گره $P$ (گره $b$ را زمین می‌گیریم). جریان آزمون $I$ از طریق مقاومت $5\,\Omega$ وارد می‌شود و منبع $4v_1$ جریانی را به $P$ تزریق می‌کند: $I+4v_1=\underbrace{\frac{V_P}{2}}_{2\,\Omega}+\underbrace{i}_{\text{middle}}+\underbrace{0}_{3\,\Omega}.$ با جایگذاری $v_1=V_P$ و $i=V_P/2$: $I+4V_P=\frac{V_P}{2}+\frac{V_P}{2}=V_P\ \Rightarrow\ I=-3V_P\ \Rightarrow\ V_P=-\frac{I}{3}.$

ارتباط $V$ و $I$ از طریق مقاومت $5\,\Omega$: $I=\frac{V-V_P}{5}\ \Rightarrow\ V=5I+V_P=5I-\frac{I}{3}=\frac{15I-I}{3}=\frac{14I}{3}.$

بنابراین $R_{ab}=\frac{V}{I}=\frac{14}{3}\ \Omega\approx4.67\,\Omega,$ که گزینهٔ ۳ است.

نکتهٔ کنکوری: با وجود یک منبع وابسته، باید یک منبع آزمون اعمال کنید. اما ابتدا از منابع مستقلِ غیرفعال‌شده بهره ببرید: باز کردن $i_s$ شاخهٔ $3\,\Omega$ را حذف می‌کند (پس $v_1=V_P$) و اتصال‌کوتاه کردن $v_s$ شاخهٔ میانی را به $V_P=2i$ فرومی‌کاهد — این دو واقعیت یک مدار درهم‌ریخته را به یک KCL تک‌گره تبدیل می‌کنند.