سوال ۴۳ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

این یک پاسخ پله‌ای مدار RC مرتبهٔ اول است. باید معادل تِوِنِن دیده‌شده توسط خازن پس از بسته‌شدن کلید را بیابیم و سپس فرمول عمومی مرتبهٔ اول را به کار ببریم.

شرط اولیه. کلید مدت زیادی باز بوده است، بنابراین ولتاژ خازن پیش از سوییچ‌زنی به‌صورت زیر داده می‌شود: $v_c(0^-)=v_c(0^+)=2\,\text{V}.$

مقاومت تِوِنِن ($t>0$). گره‌های مثلث را با $A$ (رأس)، $B$ (پایین‌چپ) و $C$ (پایین‌راست، پایانهٔ $-$ خازن) نام‌گذاری می‌کنیم. خازن مقاومت $1\,\Omega$ سری را به‌علاوهٔ مقاومت بین $A$ و $C$ (با اتصال کوتاه‌شدن منبع $3\,\text{V}$) می‌بیند: $R_{AC}=3\,\|\,(3+3)=3\,\|\,6=\frac{3\cdot 6}{3+6}=2\,\Omega,$ $R_{th}=1+R_{AC}=1+2=3\,\Omega.$

ثابت زمانی. $\tau=R_{th}\,C=3\cdot\tfrac{1}{3}=1\,\text{s}.$

مقدار نهایی (ولتاژ تِوِنِن / مدار باز). با باز بودن خازن هیچ جریانی در $1\,\Omega$ عبور نمی‌کند، بنابراین $v_c(\infty)=V_A-V_C$. مثلث $A\!-\!B\!-\!C$ یک حلقهٔ منفرد با مقاومت کل $3+3+3=9\,\Omega$ است که توسط منبع $3\,\text{V}$ تغذیه می‌شود: $I=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\,\text{A}.$ ولتاژ روی شاخهٔ $A\!-\!C$ (مقاومت $3\,\Omega$) برابر است با $v_c(\infty)=I\cdot 3=\frac{1}{3}\cdot 3=1\,\text{V}.$

پاسخ مرتبهٔ اول. $v_c(t)=v_c(\infty)+\big[v_c(0^+)-v_c(\infty)\big]e^{-t/\tau}=1+(2-1)e^{-t}=1+e^{-t}.$

محاسبه در $t=1\,\text{s}$: $v_c(1)=1+e^{-1}\approx 1.37\,\text{V}.$

این گزینهٔ ۱ است.

نکتهٔ کنکوری: با $\tau=1\,\text{s}$، توان نمایی در $t=1\,\text{s}$ دقیقاً $-1$ است، بنابراین پاسخ برابر $v_c(\infty)+[v_c(0)-v_c(\infty)]e^{-1}$ می‌شود. کافی است دو ولتاژ نقطهٔ انتهایی ($2\,\text{V}$ اولیه، $1\,\text{V}$ نهایی) را درست به دست آورید تا شکل $1+e^{-1}$ بلافاصله حاصل شود.