KonkurStudy
همه کارت‌ها
مفهوممدارهای الکتریکی ۱ و ۲تحلیل گذرا

پاسخ گذرای مدارهای RL/RC/RLC: شرایط اولیه، فرکانس‌های طبیعی و معادلات حالت

چگونگی یافتن پاسخ زمانی کامل مدارهای RL، RC و RLC کلیدزنی‌شده — پیوستگی و پرش‌های ضربه‌ای vCv_C و iLi_L، فرکانس‌های طبیعی شبکه‌های مرتبهٔ اول، دوم و بالاتر (از جمله شبکه‌های متقارن و تبهگن)، کلیدزنی مرحله‌ای با پایستگی بار/انرژی، و معادلات حالت.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی برق

اهمیت
۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی

وقتی یک مدار خطی شامل خازن و سلف دچار اختلال می‌شود — کلیدی باز یا بسته می‌شود، منبعی اعمال می‌شود — متغیرهای شاخه‌ها نمی‌توانند آنی به حالت دائمی جدید خود بپرند، زیرا بازتوزیع انرژی ذخیره‌شده در عناصر راکتیو زمان می‌برد. رفتار میرای حاصل، پاسخ گذرا (طبیعی) است که از بین می‌رود و پاسخ اجباری (حالت دائمی) را باقی می‌گذارد. پاسخ کل همواره مجموع این دو است:

x(t)=xnatural(t)+xforced(t).x(t)=x_{\text{natural}}(t)+x_{\text{forced}}(t).

دو قانون پیوستگی، تکیه‌گاه هر مسئلهٔ گذرا هستند. تا زمانی که جریان خازن و ولتاژ دو سر سلف محدود بمانند،

vC(0+)=vC(0−),iL(0+)=iL(0−).v_C(0^+)=v_C(0^-),\qquad i_L(0^+)=i_L(0^-).

این‌ها تنها متغیرهایی هستند که پیوستگی‌شان تضمین شده است؛ هر ولتاژ/جریان دیگری ممکن است در t=0t=0 بپرد. هنگامی که جریان خازن یا ولتاژ سلف ضربه‌ای باشد (منبع ضربه، یا کلیدزنی‌ای که یک حلقهٔ خازنی / کات‌ست سلفی را تحمیل می‌کند)، حتی این متغیرها هم می‌پرند — و مقدار پرش با پایستگی بار و شار پیوندی تعیین می‌شود (بخش ۶).

مرتبهٔ مدار — تعداد متغیرهای حالت مستقل (vCv_Cهای مستقل به‌علاوهٔ iLi_Lهای مستقل) — برابر است با تعداد فرکانس‌های طبیعی و درجهٔ چندجمله‌ای مشخصه. یک عنصر ذخیره‌کنندهٔ مستقل، پاسخ مرتبهٔ اول می‌دهد (یک نمایی حقیقی)؛ دو عنصر، پاسخ مرتبهٔ دوم می‌دهند (یک جفت فرکانس طبیعی که می‌توانند حقیقی، تکراری یا مختلط باشند). فرکانس‌های طبیعی متعلق به شبکهٔ ورودی‌صفر هستند: هر منبع ولتاژ مستقل با اتصال کوتاه و هر منبع جریان مستقل با مدار باز جایگزین می‌شود (منابع وابسته باقی می‌مانند).

۲. فرمول‌های کلیدی

مرتبهٔ اول (یک ثابت زمانی). هر متغیر مرتبهٔ اول که به مقدار نهایی ثابت و محدودی برسد، از رابطهٔ زیر پیروی می‌کند

x(t)=x(∞)+[x(0+)−x(∞)] e−t/τ.x(t)=x(\infty)+\big[x(0^+)-x(\infty)\big]\,e^{-t/\tau}.

ثابت زمانی را مقاومت تونن دیده‌شده از دو سر تنها عنصر ذخیره‌کننده (با منابع خاموش) تعیین می‌کند:

τRC=RthC,τRL=LRth.\tau_{RC}=R_{\text{th}}C,\qquad \tau_{RL}=\frac{L}{R_{\text{th}}}.

مرتبهٔ دوم (RLC سری یا موازی). پاسخ طبیعی جواب معادلهٔ زیر است

d2xdt2+2αdxdt+ω02 x=0,s2+2αs+ω02=0,\frac{d^2x}{dt^2}+2\alpha\frac{dx}{dt}+\omega_0^2\,x=0,\qquad s^2+2\alpha s+\omega_0^2=0,

با فرکانس طبیعی نامیرا ω0\omega_0 و ضریب میرایی α\alpha:

ω0=1LC,αseries=R2L,αparallel=12RC,ζ=αω0.\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad \alpha_{\text{series}}=\frac{R}{2L},\qquad \alpha_{\text{parallel}}=\frac{1}{2RC},\qquad \zeta=\frac{\alpha}{\omega_0}.

فرکانس‌های طبیعی (ریشه‌های مشخصه) عبارت‌اند از

s1,2=−α±α2−ω02.s_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}.

حالت‌های میرایی.

حالت شرط ریشه‌ها شکل پاسخ طبیعی
فوق‌میرا ζ>1\zeta>1 (α>ω0\alpha>\omega_0) دو ریشهٔ حقیقی متمایز s1,s2<0s_1,s_2<0 A1es1t+A2es2tA_1e^{s_1t}+A_2e^{s_2t}
میرای بحرانی ζ=1\zeta=1 (α=ω0\alpha=\omega_0) ریشهٔ حقیقی تکراری −α-\alpha (A1+A2t)e−αt(A_1+A_2t)e^{-\alpha t}
زیرمیرا 0<ζ<10<\zeta<1 (α<ω0\alpha<\omega_0) −α±jωd-\alpha\pm j\omega_d e−αt(A1cos⁡ωdt+A2sin⁡ωdt)e^{-\alpha t}(A_1\cos\omega_d t+A_2\sin\omega_d t)
بدون تلف ζ=0\zeta=0 (α=0\alpha=0) ±jω0\pm j\omega_0 A1cos⁡ω0t+A2sin⁡ω0tA_1\cos\omega_0 t+A_2\sin\omega_0 t

که در آن فرکانس میرا ωd=ω01−ζ2\omega_d=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2} است.

میان‌بُر حوزهٔ ss. با شرایط اولیهٔ صفر، از امپدانس‌های RR، sLsL، 1sC\tfrac{1}{sC} استفاده کنید و منبع را تبدیل کنید (u(t)→1su(t)\to\tfrac1s، δ(t)→1\delta(t)\to 1). یک حلقهٔ سری که با پلهٔ VV تحریک شود می‌دهد

I(s)=V/ssL+R+1sC=V/Ls2+RLs+1LC,I(s)=\frac{V/s}{sL+R+\dfrac{1}{sC}}=\frac{V/L}{s^{2}+\dfrac{R}{L}s+\dfrac{1}{LC}},

که مخرج آن همان چندجمله‌ای مشخصه است. وارون ریشهٔ تکراری (s+a)2(s+a)^2 برابر t e−att\,e^{-at} است. قضیهٔ مقدار اولیه مقدار متغیر را درست پس از اختلال، بدون وارون‌گیری، می‌دهد و هنگامی معتبر است که X(s)X(s) اکیداً سره باشد:

x(0+)=lim⁡s→∞sX(s).x(0^+)=\lim_{s\to\infty}sX(s).

۳. روش (گام‌به‌گام)

  1. حالت دائمی t<0t<0. با فرض این‌که منابع DC به مدت کافی برقرار بوده‌اند، هر خازن را با مدار باز و هر سلف را با اتصال کوتاه جایگزین کنید؛ vC(0−)v_C(0^-) و iL(0−)i_L(0^-) را بخوانید.
  2. پیوستگی را اعمال کنید. قرار دهید vC(0+)=vC(0−)v_C(0^+)=v_C(0^-) و iL(0+)=iL(0−)i_L(0^+)=i_L(0^-). این‌ها شرایط اولیهٔ شما برای t>0t>0 هستند. اگر اختلال ضربه‌ای است، به‌جای این گام از حساب‌وکتاب بار/شار بخش ۶ استفاده کنید.
  3. توپولوژی t>0t>0 را ساده کنید. مدار را با کلیدها در وضعیت جدیدشان دوباره رسم کنید. گره‌ای که با یک منبع ولتاژ ایده‌آل (یا یک اتصال کوتاه) مقید شده است، هر آنچه را به آن آویخته است جدا می‌کند: زیرشبکه‌هایی که فقط در چنین گره‌هایی به هم می‌رسند بر یکدیگر اثر ندارند، پس فقط بخشی را نگه دارید که متغیر خواسته‌شده در آن است.
  4. مرتبه / فرکانس‌های طبیعی را تعیین کنید. منابع مستقل را خاموش کنید و مقاومت تونن را از دو سر عنصر(های) ذخیره‌کننده بیابید؛ برای یک عنصر τ\tau را حساب کنید، برای دو عنصر s2+2αs+ω02=0s^2+2\alpha s+\omega_0^2=0 را تشکیل دهید و s1,2s_{1,2} را به دست آورید. برای شبکه‌های بزرگ‌تر از بخش ۵ (شمارش توپولوژیک، تقارن) یا بخش ۷ (ماتریس حالت) استفاده کنید.
  5. مقدار اجباری/نهایی را بیابید. منابع DC را در توپولوژی جدید دوباره اعمال کنید و حالت دائمی t→∞t\to\infty را بگیرید (خازن باز، سلف اتصال کوتاه) تا x(∞)x(\infty) به دست آید. اگر مدار حالت دائمی DC محدود ندارد (مثلاً سلفی مستقیماً دو سر یک منبع، یا خازنی که DC را سد می‌کند) با آن شاخه به‌طور ویژه برخورد کنید — حالت‌های خاص را ببینید.
  6. پاسخ را سرهم کنید و ثابت‌ها را تعیین کنید. بنویسید x(t)=xforced+(natural form)x(t)=x_{\text{forced}}+\text{(natural form)} و ثابت‌های مجهول را با x(0+)x(0^+) و، برای مرتبهٔ دوم، با شیب اولیهٔ dxdt(0+)\dfrac{dx}{dt}(0^+) مشخص کنید که از قوانین عناصر iC=C v˙Ci_C=C\,\dot v_C، vL=L i˙Lv_L=L\,\dot i_L به دست می‌آید.
  7. چند رویداد کلیدزنی. مرحله‌به‌مرحله حل کنید: حالت (vC,iL)(v_C,i_L) در پایان یک مرحله، حالت اولیهٔ مرحلهٔ بعد است. همواره زمان رویداد را با زمانی که مرحلهٔ قبل نیاز دارد مقایسه کنید — ممکن است آن مرحله تمام شده باشد یا نشده باشد.

مدار معادل در t=0+t=0^+. برای به دست آوردن هر کمیت غیرحالت یا یک شیب در 0+0^+، هر خازن را با منبع ولتاژ vC(0+)v_C(0^+) (اتصال کوتاه اگر بدون بار باشد) و هر سلف را با منبع جریان iL(0+)i_L(0^+) (مدار باز اگر در حال سکون باشد) جایگزین کنید، سپس مدار مقاومتی حاصل را حل کنید:

dvCdt(0+)=iC(0+)C,diLdt(0+)=vL(0+)L.\frac{dv_C}{dt}(0^+)=\frac{i_C(0^+)}{C},\qquad \frac{di_L}{dt}(0^+)=\frac{v_L(0^+)}{L}.

۴. مثال کوتاه حل‌شده (پلهٔ RLC سری)

یک حلقهٔ سری با R=3 ΩR=3\,\Omega، L=1 HL=1\,\text{H}، C=12 FC=\tfrac12\,\text{F} از حالت سکون (iL(0−)=0i_L(0^-)=0، vC(0−)=0v_C(0^-)=0) با پلهٔ 10 V10\,\text{V} در t=0t=0 تحریک می‌شود. i(t)i(t) را بیابید.

ω0=1LC=11⋅0.5=2,α=R2L=32.\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{1\cdot 0.5}}=\sqrt2,\qquad \alpha=\frac{R}{2L}=\frac{3}{2}.

چون α=1.5>ω0=1.414\alpha=1.5>\omega_0=1.414، حلقه فوق‌میرا است:

s2+3s+2=0  ⇒  s1,2=−1, −2.s^2+3s+2=0\;\Rightarrow\;s_{1,2}=-1,\,-2.

در DC خازن جریان را سد می‌کند، پس i(∞)=0i(\infty)=0 و i(t)=A1e−t+A2e−2ti(t)=A_1e^{-t}+A_2e^{-2t}. شرایط اولیه: i(0+)=iL(0−)=0i(0^+)=i_L(0^-)=0، و

didt∣0+=vL(0+)L=Vs−Ri(0+)−vC(0+)L=10−0−01=10.\left.\frac{di}{dt}\right|_{0^+}=\frac{v_L(0^+)}{L}=\frac{V_s-Ri(0^+)-v_C(0^+)}{L}=\frac{10-0-0}{1}=10.

بنابراین A1+A2=0A_1+A_2=0 و −A1−2A2=10⇒A1=10,  A2=−10-A_1-2A_2=10\Rightarrow A_1=10,\;A_2=-10:

i(t)=10(e−t−e−2t) A.i(t)=10\left(e^{-t}-e^{-2t}\right)\ \text{A}.

جریان از صفر شروع می‌شود، به یک قله می‌رسد و سپس، هم‌زمان با شارژ شدن خازن تا 10 V10\,\text{V} کامل، دوباره به صفر میرا می‌شود.

حالت میرای بحرانی. مقاومت را به R=22 ΩR=2\sqrt2\,\Omega تغییر دهید، تا α=2=ω0\alpha=\sqrt2=\omega_0 شود. در حوزهٔ ss

I(s)=10s2+22 s+2=10(s+2)2  ⇒  i(t)=10 t e−2 t A,I(s)=\frac{10}{s^{2}+2\sqrt2\,s+2}=\frac{10}{(s+\sqrt2)^{2}}\;\Rightarrow\;i(t)=10\,t\,e^{-\sqrt2\,t}\ \text{A},

که باز هم i(0+)=0i(0^+)=0 و شیب 10 A/s10\ \text{A/s} در مبدأ دارد — این دو شرط اولیه به RR بستگی ندارند.

۵. فرکانس‌های طبیعی شبکه‌های بزرگ‌تر

مرتبه از روی توپولوژی. حلقه‌ای که فقط از خازن‌ها (و احتمالاً منابع ولتاژ) ساخته شده باشد، یک vCv_C را از طریق KVL وابسته می‌کند؛ کات‌ستی که فقط از سلف‌ها (و احتمالاً منابع جریان) ساخته شده باشد، یک iLi_L را از طریق KCL وابسته می‌کند. هر یک از این تبهگنی‌ها مرتبه — و تعداد فرکانس‌های طبیعی — را یک واحد کم می‌کند:

order=C+L−(# capacitor loops)−(# inductor cut-sets).\text{order}=C+L-(\#\ \text{capacitor loops})-(\#\ \text{inductor cut-sets}).

فرکانس‌های طبیعی در s=0s=0. در شبکهٔ ورودی‌صفر، یک کات‌ست که فقط از خازن‌ها ساخته شده باشد (معمولاً گره‌ای که فقط خازن‌ها به آن وصل‌اند) بار خالص صفحه‌های روبه‌روی خود را به دام می‌اندازد: این بار هرگز نمی‌تواند میرا شود، که همان مُد e0te^{0t} است. به‌طور دوگان، یک حلقه که فقط از سلف‌ها ساخته شده باشد شار پیوندی خود را به دام می‌اندازد، پس یک جریان ثابت می‌تواند تا ابد در آن بچرخد. هر کات‌ست مستقلِ تمام‌خازنی و هر حلقهٔ مستقلِ تمام‌سلفی یک فرکانس طبیعی در s=0s=0 می‌افزاید؛ این فرکانس‌ها در مرتبهٔ بالا شمرده شده‌اند.

توپولوژی ورودی‌صفر پیامد
حلقهٔ تمام‌خازنی مرتبه 11 واحد کم می‌شود
کات‌ست تمام‌سلفی مرتبه 11 واحد کم می‌شود
کات‌ست تمام‌خازنی یک فرکانس طبیعی در s=0s=0
حلقهٔ تمام‌سلفی یک فرکانس طبیعی در s=0s=0

مثال: یک تک‌حلقهٔ C1C_1 – RR – C2C_2 مرتبهٔ 22 دارد. گره‌ای که C1C_1 و C2C_2 در آن به هم می‌رسند فقط به خازن‌ها وصل است، پس یک ریشه s=0s=0 است؛ ریشهٔ دیگر s=−1RCsers=-\dfrac{1}{RC_{\text{ser}}} است با Cser=C1C2C1+C2C_{\text{ser}}=\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}.

معادلهٔ مشخصهٔ کلی. فرکانس‌های طبیعی، ریشه‌های det⁡Y(s)=0\det Y(s)=0 (ماتریس ادمیتانس گره) یا det⁡Z(s)=0\det Z(s)=0 (ماتریس امپدانس مش) شبکهٔ ورودی‌صفر هستند. برای یک تک‌حلقه این رابطه به «مجموع امپدانس‌های دور حلقه =0=0» کاهش می‌یابد؛ برای یک تک‌جفت‌گره، به «مجموع ادمیتانس‌ها =0=0».

شبکه‌های متقارن — تجزیهٔ زوج/فرد. اگر شبکهٔ ورودی‌صفر با جابه‌جایی آینه‌ای دو نیمه‌اش تغییر نکند، هر مُد طبیعی یا زوج است (گره‌های قرینه ولتاژ برابر دارند) یا فرد (گره‌های قرینه ولتاژ قرینه دارند). هر مجموعه از یک نیم‌مدار به دست می‌آید و فرکانس‌های طبیعی کل شبکه اجتماع این دو مجموعه است.

مُد شرط روی گره‌های قرینهٔ AA، BB شاخهٔ واصل AA به BB (امپدانس ZZ) عنصر روی محور تقارن (امپدانس ZZ)
زوج vA=vBv_A=v_B جریانی ندارد — آن را حذف کنید بین دو نیمه مشترک است — در نیم‌مدار 2Z2Z می‌شود
فرد vA=−vBv_A=-v_B نقطهٔ میانی آن در پتانسیل صفر است — Z2\tfrac{Z}{2} به زمین جریانی ندارد، گره‌های محور در پتانسیل صفرند — محور را به زمین اتصال کوتاه کنید

مثال کوتاه. هر یک از گره‌های AA و BB یک R=1 ΩR=1\,\Omega موازی با C=1 FC=1\,\text{F} به زمین دارد، و یک سلف L=1 HL=1\,\text{H} گرهٔ AA را به BB وصل می‌کند (مرتبهٔ 33).

  • مُد زوج: جریانی در LL نیست، پس هر نیمه یک RCRC ساده است: s+1=0⇒s=−1s+1=0\Rightarrow s=-1.
  • مُد فرد: نقطهٔ میانی سلف زمین می‌شود، هر نیمه L2=12 H\tfrac{L}{2}=\tfrac12\,\text{H} را موازی با RR و CC می‌بیند:
s+1+2s=0  ⇒  s2+s+2=0  ⇒  s=−12±j72.s+1+\frac{2}{s}=0\;\Rightarrow\;s^{2}+s+2=0\;\Rightarrow\;s=-\frac12\pm j\frac{\sqrt7}{2}.

سه فرکانس طبیعی عبارت‌اند از {−1, −12±j72}\left\{-1,\ -\tfrac12\pm j\tfrac{\sqrt7}{2}\right\} — حداکثر دو معادلهٔ درجهٔ دوم ساده، به‌جای یک دترمینان درجهٔ سوم. توجه کنید که بخش حقیقی −12-\tfrac12 جفت مختلط، خودش فرکانس طبیعی نیست.

۶. رویدادهای ضربه‌ای: وقتی vCv_C و iLi_L می‌پرند

ولتاژ خازن فقط وقتی می‌تواند بپرد که یک ضربهٔ جریان، بار محدودی را در زمان صفر تحویل دهد؛ جریان سلف فقط وقتی می‌تواند بپرد که یک ضربهٔ ولتاژ، شار پیوندی محدودی را تحویل دهد:

ΔvC=1C∫0−0+iC dt=QC,ΔiL=1L∫0−0+vL dt=ΦL.\Delta v_C=\frac{1}{C}\int_{0^-}^{0^+}i_C\,dt=\frac{Q}{C},\qquad \Delta i_L=\frac{1}{L}\int_{0^-}^{0^+}v_L\,dt=\frac{\Phi}{L}.

مقاومت‌ها هرگز ضربهٔ بار را جذب نمی‌کنند: مقاومتی که با یک خازن موازی است جریان محدود v/Rv/R را می‌گذراند که انتگرال آن روی [0−,0+][0^-,0^+] صفر است. به همین ترتیب، سلفی که ولتاژ محدودی دارد برای جریان ضربه‌ای مدار باز است، پس خازنی که با یک سلف سری است باری دریافت نمی‌کند و ولتاژش نمی‌پرد.

(a) منابع ضربه.

  • منبع جریان Q δ(t)Q\,\delta(t) که یک شاخهٔ خازنی را تغذیه می‌کند، بار QQ را روی آن می‌نشاند. خازن‌های سری هر کدام QQ کامل را دریافت می‌کنند، پس ΔvCk=QCk\Delta v_{C_k}=\dfrac{Q}{C_k} (خازن کوچک‌تر ولتاژ بزرگ‌تر می‌گیرد)؛ خازن‌های موازی آن را تقسیم می‌کنند، Δv=QC1+C2\Delta v=\dfrac{Q}{C_1+C_2}.
  • منبع ولتاژ Φ δ(t)\Phi\,\delta(t) در حلقه‌ای شامل یک سلف، ΔiL=ΦLloop\Delta i_L=\dfrac{\Phi}{L_{\text{loop}}} را ایجاد می‌کند؛ افت‌های محدود روی مقاومت‌ها و خازن‌های سری سهمی از ضربه نمی‌برند.
  • برای t>0t>0 منبع خاموش است و پاسخ، همان پاسخ طبیعی بدون منبع است که از حالتِ پریده آغاز می‌شود. اگر ضربه مستقیماً به یک عنصر حالت نرسد، آن حالت پیوسته می‌ماند و فقط مشتقش می‌پرد.

مثال کوتاه. منبع 4 δ(t) A4\,\delta(t)\,\text{A} مقاومت R=2 ΩR=2\,\Omega را که با یک جفت سری C1=2 FC_1=2\,\text{F}، C2=8 FC_2=8\,\text{F} موازی است تحریک می‌کند و مدار در ابتدا در حال سکون است. هر خازن 4 C4\,\text{C} می‌گیرد:

vC1(0+)=42=2 V,vC2(0+)=48=0.5 V,v(0+)=2.5 V.v_{C_1}(0^+)=\frac{4}{2}=2\,\text{V},\qquad v_{C_2}(0^+)=\frac{4}{8}=0.5\,\text{V},\qquad v(0^+)=2.5\,\text{V}.

بررسی: Cser=1.6 FC_{\text{ser}}=1.6\,\text{F}، V(s)=41.6s+0.5V(s)=\dfrac{4}{1.6s+0.5}، و lim⁡s→∞sV(s)=2.5 V\lim_{s\to\infty}sV(s)=2.5\,\text{V}. پس از آن همه‌چیز با τ=RCser=3.2 s\tau=RC_{\text{ser}}=3.2\,\text{s} میرا می‌شود.

(b) حلقه‌های خازنی و کات‌ست‌های سلفی که با یک پله یا کلید تحمیل می‌شوند. اگر یک منبع ولتاژ پله (یا کلیدی که بسته می‌شود) حلقه‌ای را که فقط از خازن‌ها تشکیل شده کامل کند، KVL باید در 0+0^+ برقرار باشد، پس ولتاژ خازن‌ها می‌پرد. مقدار پرش از KVL دور حلقه به‌علاوهٔ پایستگی بار در هر گره‌ای که فقط خازن‌ها (و سلف‌هایِ در حکم مدار باز) به آن وصل‌اند به دست می‌آید. برای دو خازن سریِ در ابتدا بدون بار که پلهٔ VV به آن‌ها اعمال می‌شود، این همان مقسم خازنی است:

vC1(0+)=V C2C1+C2,vC2(0+)=V C1C1+C2.v_{C_1}(0^+)=V\,\frac{C_2}{C_1+C_2},\qquad v_{C_2}(0^+)=V\,\frac{C_1}{C_1+C_2}.

به‌طور دوگان، اگر یک کلیدزنی کات‌ستی را که فقط از سلف‌ها تشکیل شده تحمیل کند (مثلاً دو سلف با جریان‌های متفاوت که ناگهان سری می‌شوند)، KCL باید در 0+0^+ برقرار باشد و شار پیوندی کل حلقه پایسته می‌ماند؛ با مرجع‌گذاری هر دو جریان در یک جهت حلقه،

i(0+)=L1i1(0−)+L2i2(0−)L1+L2.i(0^+)=\frac{L_1i_1(0^-)+L_2i_2(0^-)}{L_1+L_2}.

مثال کوتاه. یک پلهٔ 12 V12\,\text{V} به C1=2 FC_1=2\,\text{F} سری با C2=4 FC_2=4\,\text{F} (هر دو بدون بار) اعمال می‌شود، و R=1 ΩR=1\,\Omega دو سر C2C_2 قرار دارد. حلقهٔ منبع–C1C_1–C2C_2 تمام‌خازنی است، پس

vC2(0+)=12⋅22+4=4 V,vC1(0+)=8 V.v_{C_2}(0^+)=12\cdot\frac{2}{2+4}=4\,\text{V},\qquad v_{C_1}(0^+)=8\,\text{V}.

برای t>0t>0 مقاومت C1∥C2C_1\parallel C_2 را می‌بیند (منبع اتصال کوتاه)، τ=R(C1+C2)=6 s\tau=R(C_1+C_2)=6\,\text{s}، و در DC خازن C1C_1 سد می‌کند، پس vC2(∞)=0v_{C_2}(\infty)=0: vC2(t)=4e−t/6 Vv_{C_2}(t)=4e^{-t/6}\,\text{V}. اگر به‌جای آن یک سلف LL دو سر C2C_2 وصل بود، شیب اولیه‌اش diLdt(0+)=vC2(0+)L=4L\dfrac{di_L}{dt}(0^+)=\dfrac{v_{C_2}(0^+)}{L}=\dfrac{4}{L} می‌شد — ولتاژِ پریده، نه صفر.

۷. معادلات حالت

برای هر مرتبه‌ای، هر ولتاژ خازن مستقل و هر جریان سلف مستقل را به‌عنوان متغیر حالت انتخاب کنید و مدار را به این صورت بنویسید

x˙=A x+B u,x=[vCiL].\dot{\mathbf x}=A\,\mathbf x+B\,\mathbf u,\qquad \mathbf x=\begin{bmatrix}v_C\\ i_L\end{bmatrix}.

روش.

  1. از قوانین عناصر شروع کنید: C v˙C=iCC\,\dot v_C=i_C و L i˙L=vLL\,\dot i_L=v_L.
  2. iCi_C (با KCL در یک گرهٔ خازن) و vLv_L (با KVL دور یک حلقهٔ سلف) را فقط برحسب متغیرهای حالت و منابع مستقل بیان کنید. به‌طور معادل: هر خازن را با منبع ولتاژ vCv_C و هر سلف را با منبع جریان iLi_L جایگزین کنید، سپس مدار مقاومتی حاصل را برای iCi_C و vLv_L حل کنید.
  3. هر متغیر غیرحالت را حذف کنید. برای منبع وابسته، ابتدا متغیر کنترل‌کننده‌اش را برحسب حالت‌ها و منابع بنویسید، سپس جای‌گذاری کنید.
  4. بر CC و LL تقسیم کنید و AA و BB را بخوانید.

فرکانس‌های طبیعی، مقادیر ویژهٔ AA هستند:

det⁡(sI−A)=0,for 2×2:s2−(tr⁡A) s+det⁡A=0.\det(sI-A)=0,\qquad \text{for }2\times2:\quad s^{2}-(\operatorname{tr}A)\,s+\det A=0.

مثال کوتاه. منبع vsv_s از طریق 1 Ω1\,\Omega گرهٔ AA را تغذیه می‌کند. از AA به زمین این‌ها قرار دارند: یک خازن C=12 FC=\tfrac12\,\text{F} (ولتاژ vCv_C)، شاخه‌ای از L=1 HL=1\,\text{H} سری با 2 Ω2\,\Omega (جریان iLi_L، و vx=2iLv_x=2i_L دو سر مقاومت)، و یک منبع جریان وابسته که g vxg\,v_x می‌کشد با g=1 Sg=1\,\text{S}، یعنی 2iL2i_L.

KCL در AA و KVL در شاخهٔ سلف:

vs−vC1=12v˙C+iL+2iL,i˙L=vC−2iL.\frac{v_s-v_C}{1}=\tfrac12\dot v_C+i_L+2i_L,\qquad \dot i_L=v_C-2i_L.

در نتیجه

[v˙Ci˙L]=[−2−61−2][vCiL]+[20]vs,\begin{bmatrix}\dot v_C\\ \dot i_L\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&-6\\ 1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_C\\ i_L\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\ 0\end{bmatrix}v_s,

با s2+4s+10=0⇒s=−2±j6s^{2}+4s+10=0\Rightarrow s=-2\pm j\sqrt6. یک نقطهٔ کار را بررسی کنید: در DC با vs=1v_s=1 هر دو مشتق صفر می‌شوند، که می‌دهد vC=2iLv_C=2i_L و iL=0.2i_L=0.2، vC=0.4v_C=0.4؛ آنگاه مقاومت منبع 0.6=iL+2iL0.6=i_L+2i_L را می‌گذراند. یک بررسی تکی از این دست (یا صفر گذاشتن حالت‌ها و خواندن ستون BB) خطاهای علامت در قطبیت منبع وابسته را آشکار می‌کند.

۸. حالت‌های رایج و موارد خاص

کاهش تونن برای مرتبهٔ اول. هر آنچه تنها CC (یا LL) می‌بیند را به معادل تونن آن فروبکاهید؛ آنگاه τ=RthC\tau=R_{\text{th}}C یا L/RthL/R_{\text{th}} و x(∞)x(\infty) مقدار مدار باز (یا اتصال کوتاه) است.

سلف مستقیماً دو سر یک منبع ولتاژ ثابت. نبودِ مقاومت سری یعنی نبودِ نشست نمایی — didt=VL\dfrac{di}{dt}=\dfrac{V}{L} ثابت است و جریان یک شیب بی‌کران i(t)=VLti(t)=\tfrac{V}{L}t است، نه یک گذرای میرا.

حلقهٔ LCLC بدون تلف. با α=0\alpha=0 انرژی 12LiL2+12CvC2\tfrac12Li_L^{2}+\tfrac12Cv_C^{2} ثابت است و بین دو عنصر رفت‌وبرگشت می‌کند. با گرفتن iLi_L به‌عنوان جریانی که خازن را شارژ می‌کند و Z0=L/CZ_0=\sqrt{L/C}،

vC(t)=V0cos⁡ω0t+Z0I0sin⁡ω0t,iL(t)=I0cos⁡ω0t−V0Z0sin⁡ω0t.v_C(t)=V_0\cos\omega_0t+Z_0I_0\sin\omega_0t,\qquad i_L(t)=I_0\cos\omega_0t-\frac{V_0}{Z_0}\sin\omega_0t.

سلفی حامل I0I_0 که در یک خازن بدون بار تخلیه شود، آن را پس از یک‌چهارم دورهٔ تناوب T4=π2ω0\dfrac{T}{4}=\dfrac{\pi}{2\omega_0} تا Vpeak=Z0I0V_{\text{peak}}=Z_0I_0 شارژ می‌کند.

دیود ایده‌آل در حلقه. دیود فقط تا زمانی هدایت می‌کند که جریانش در جهت مستقیم باشد؛ این را از جهتی که جریان پیوستهٔ سلف باید در 0+0^+ داشته باشد تشخیص دهید. دیود در نخستین صفرِ جریان خاموش می‌شود و تا وقتی بایاس معکوس است خاموش می‌ماند و خازن را در مقدار قله‌اش ثابت نگه می‌دارد. مثال: L=4 HL=4\,\text{H} حامل 3 A3\,\text{A} از طریق یک دیود در C=1 FC=1\,\text{F} تخلیه می‌شود: ω0=12 rad/s\omega_0=\tfrac12\,\text{rad/s}، Z0=2 ΩZ_0=2\,\Omega، پس خازن از t=π st=\pi\,\text{s} به بعد در 6 V6\,\text{V} می‌ماند (بررسی انرژی: 12⋅4⋅32=18=12⋅1⋅62\tfrac12\cdot4\cdot3^{2}=18=\tfrac12\cdot1\cdot6^{2}).

تقسیم بار بین خازن‌ها. وقتی C1C_1 (در V1V_1) و C2C_2 (در V2V_2) از طریق مقاومت RR به هم وصل می‌شوند، بار گرهٔ ایزوله پایسته می‌ماند ولی انرژی نه:

V(∞)=C1V1+C2V2C1+C2,τ=R C1C2C1+C2,Wlost=12 C1C2C1+C2 (V1−V2)2.V(\infty)=\frac{C_1V_1+C_2V_2}{C_1+C_2},\qquad \tau=R\,\frac{C_1C_2}{C_1+C_2},\qquad W_{\text{lost}}=\frac12\,\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\,(V_1-V_2)^{2}.

RR فقط سرعت را تعیین می‌کند؛ ولتاژ نهایی و انرژی تلف‌شده از آن مستقل‌اند. مثال: خازن 1 F1\,\text{F} در 6 V6\,\text{V} بالا به یک خازن 2 F2\,\text{F} بدون بار وصل می‌شود: V(∞)=63=2 VV(\infty)=\tfrac{6}{3}=2\,\text{V}، انرژی از 18 J18\,\text{J} به 12⋅3⋅22=6 J\tfrac12\cdot3\cdot2^{2}=6\,\text{J} می‌رسد، و Wlost=12⋅23⋅36=12 JW_{\text{lost}}=\tfrac12\cdot\tfrac23\cdot36=12\,\text{J}.

تحریک ضربه. آن را به‌صورت تغییر آنی حالت اولیه (بخش ۶) و سپس یک پاسخ بدون منبع در نظر بگیرید.

توپولوژی‌های تبهگن و شبکه‌های متقارن. مرتبه و فرکانس‌های طبیعی صفر را از روی توپولوژی بشمارید، و شبکهٔ متقارن را به نیم‌مدارهای زوج و فرد تجزیه کنید (بخش ۵).

تلهٔ رایج: فقط vCv_C و iLi_L در لحظهٔ کلیدزنی پیوسته‌اند، آن هم فقط وقتی جریان/ولتاژ شاخه‌شان محدود بماند. فرض نکنید که ولتاژ مقاومت، جریان خازن یا ولتاژ سلف پیوسته است — این‌ها به‌طور معمول در t=0+t=0^+ می‌پرند، و دقیقاً همان‌هایی هستند که (از طریق iC=Cv˙Ci_C=C\dot v_C، vL=Li˙Lv_L=L\dot i_L) برای به دست آوردن شیب اولیهٔ لازم جهت تعیین ثابت‌های مرتبهٔ دوم به کار می‌برید. همچنین، برای شاخه‌ای که حالت دائمی DC محدود ندارد چشم‌بسته x(∞)x(\infty) ننویسید (یک LL دو سر منبع به‌صورت شیب رشد می‌کند؛ یک CC در تنها مسیر، DC را سد می‌کند)، در جایی که یک مقاومت یا یک بازتوزیع ضربه‌ای انرژی تلف می‌کند از پایستگی انرژی استفاده نکنید (از بار یا شار پیوندی استفاده کنید)، و بخش حقیقی یک جفت مختلط را با فرکانس طبیعی اشتباه نگیرید.

نکتهٔ کنکوری: پیش از حل هر چیز، گزینه‌ها را با شرایط اولیه بیازمایید. جریان سلف (یا ولتاژ خازن) که تحت تحریک محدود از حال سکون شروع می‌کند باید در t=0+t=0^+ برابر 00 باشد، و شیب آن باید برابر vL(0+)/Lv_L(0^+)/L (یا iC(0+)/Ci_C(0^+)/C) باشد؛ بیشتر عبارت‌های نادرست در یکی از این دو آزمون رد می‌شوند. برای گزینه‌های معادلهٔ حالت، وارسی تنها یک سطر — یا فقط ستون ورودی با صفر گذاشتن همهٔ حالت‌ها — معمولاً کافی است.

فرمول‌های کلیدی

First-order complete response
x(t)=x(∞)+[x(0+)−x(∞)]e−t/τx(t)=x(\infty)+\big[x(0^+)-x(\infty)\big]e^{-t/\tau}
Time constants
τRC=RthC,τRL=LRth\tau_{RC}=R_{\text{th}}C,\qquad \tau_{RL}=\frac{L}{R_{\text{th}}}
Second-order characteristic equation
s2+2αs+ω02=0,s1,2=−α±α2−ω02s^2+2\alpha s+\omega_0^2=0,\qquad s_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}
RLC parameters
ω0=1LC,αseries=R2L,αparallel=12RC,ζ=αω0\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\quad \alpha_{\text{series}}=\frac{R}{2L},\quad \alpha_{\text{parallel}}=\frac{1}{2RC},\quad \zeta=\frac{\alpha}{\omega_0}
Damped natural frequency
ωd=ω01−ζ2\omega_d=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}
State-variable continuity
vC(0+)=vC(0−),iL(0+)=iL(0−)v_C(0^+)=v_C(0^-),\qquad i_L(0^+)=i_L(0^-)
Network order
order=C+L−(# capacitor loops)−(# inductor cut-sets)\text{order}=C+L-(\#\ \text{capacitor loops})-(\#\ \text{inductor cut-sets})
Initial slopes from the 0+ circuit
dvCdt(0+)=iC(0+)C,diLdt(0+)=vL(0+)L\frac{dv_C}{dt}(0^+)=\frac{i_C(0^+)}{C},\qquad \frac{di_L}{dt}(0^+)=\frac{v_L(0^+)}{L}
Initial-value theorem
x(0+)=lim⁡s→∞sX(s)x(0^+)=\lim_{s\to\infty}sX(s)
Impulsive jumps of the state variables
ΔvC=QC,ΔiL=ΦL\Delta v_C=\frac{Q}{C},\qquad \Delta i_L=\frac{\Phi}{L}
Capacitive divider at 0+ (uncharged series capacitors, step V)
vC1(0+)=V C2C1+C2,vC2(0+)=V C1C1+C2v_{C_1}(0^+)=V\,\frac{C_2}{C_1+C_2},\qquad v_{C_2}(0^+)=V\,\frac{C_1}{C_1+C_2}
Flux-linkage conservation (inductors forced in series)
i(0+)=L1i1(0−)+L2i2(0−)L1+L2i(0^+)=\frac{L_1i_1(0^-)+L_2i_2(0^-)}{L_1+L_2}
Charge sharing between two capacitors
V(∞)=C1V1+C2V2C1+C2,τ=R C1C2C1+C2,Wlost=12 C1C2C1+C2(V1−V2)2V(\infty)=\frac{C_1V_1+C_2V_2}{C_1+C_2},\qquad \tau=R\,\frac{C_1C_2}{C_1+C_2},\qquad W_{\text{lost}}=\frac12\,\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}(V_1-V_2)^2
Lossless LC loop
vC(t)=V0cos⁡ω0t+Z0I0sin⁡ω0t,iL(t)=I0cos⁡ω0t−V0Z0sin⁡ω0t,Z0=L/Cv_C(t)=V_0\cos\omega_0t+Z_0I_0\sin\omega_0t,\qquad i_L(t)=I_0\cos\omega_0t-\frac{V_0}{Z_0}\sin\omega_0t,\qquad Z_0=\sqrt{L/C}
State equations and natural frequencies
x˙=Ax+Bu,det⁡(sI−A)=0\dot{\mathbf x}=A\mathbf x+B\mathbf u,\qquad \det(sI-A)=0
#transient-analysis#time-constant#rlc-circuit#natural-frequencies#initial-conditions#damping#state-equations#impulse-response

سوالات تمرینی · 8/32

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطتحلیل گذراکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۴۳

در مدار زیر، کلید s برای مدت‌ها باز بوده و ولتاژ خازن قبل از بستن کلید برابر ۲ ولت می‌باشد. در t=۰ کلید s بسته می‌شود. مدار شامل یک خازن 1/3 F (ولتاژ v_c(t) ، قطب مثبت در بالا) است که از طریق کلید s…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲سختتحلیل گذراکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۴۴

در مدار زیر، برای ورودی i_s(t)=δ(t) و شرایط اولیه صفر در t=۰^- ، کدام گزاره درخصوص A=(d^n i_L)/(dt^n)(۰^+) و B=(d^n v_c)/(dt^n)(۰^+) درست است؟ (مدار: منبع جریان i_s(t) به‌صورت موازی با یک مقاومت ۱Ω…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطتحلیل گذراکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۴۵

در مدار زیر، قبل از بسته شدن کلید، جریان سلف‌ها صفر و ولتاژ خازن هم صفر است. در t=۰ کلید بسته می‌شود. مدار چنین است: منبع DC با V_s = ۵ V (قطب + بالا) از طریق کلید به گره A وصل می‌شود. از گره A یک…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطتحلیل گذراکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۵۳

کدام گزینه درخصوص یک شبکه LTI که شامل ۳ خازن و ۴ سلف می‌باشد، درست است؟

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطتحلیل گذراکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۵۵

دوقطبی N بین یک مقاومت ۱ Ω موازی با درگاه چپ و یک مقاومت ۱ Ω موازی با درگاه راست قرار گرفته است. اگر فرکانس‌های طبیعی مدار زیر -۱/۳ و -۱ باشد، به جای دوقطبی N ، کدام دوقطبی را می‌توان قرار داد؟

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲آسانتحلیل گذراکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۴۳

در مدار زیر، خازن C_۱ در t = ۰^(-) دارای ولتاژ اولیه V_۱ = ۵ V بوده و خازن C_۲ بدون ولتاژ اولیه است. در لحظه‌ی t = ۰ ، کلید S بسته می‌شود. در این‌صورت، i(t) برای زمان‌های مثبت و V_۲(+∞) کدام است؟…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲سختتحلیل گذراکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۴۴

در مدار زیر، i_(L_۱)(۰^(-)) = ۱A , i_(L_۲)(۰^(-)) = -۲A و ولتاژ اولیه خازن‌ها صفر است. مقدار dfrac dv_(C_۱)(۰^(+)) dt چند ولت بر ثانیه است؟ (شرح مدار: منبع جریان مستقل ۲u(t) در شاخه‌ی سمت چپ با پیکان…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطتحلیل گذراکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۴۵

۴۵- در مدار زیر، به‌ازای چه مقداری برای α ، مدار فرکانس طبیعی مضاعف دارد؟ همهٔ عناصر بین گرهٔ بالا و گرهٔ پایین (مرجع) به‌صورت موازی بسته شده‌اند: منبع جریان مستقل i_s(t) (پیکان رو به بالا، تزریق…

همهٔ 32 سؤال →