سوال ۴۶ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

ایده. پاسخ ضربه همان پاسخ حالت صفر به ورودی $i_s = \delta(t)$ است، یعنی تبدیل لاپلاس معکوسِ تابع شبکه $H(s) = V_o(s)/I_s(s)$.

گام ۱ — تابع شبکه. با گرفتن تبدیل لاپلاس از معادلهٔ دیفرانسیل با شرایط اولیهٔ صفر:

گام ۲ — تابع ناسره است، پس ابتدا تقسیم می‌کنیم. درجهٔ صورت ($2$) از درجهٔ مخرج ($1$) بیشتر است، بنابراین نمی‌توان مستقیماً از تجزیه به کسرهای جزئی استفاده کرد. تقسیم چندجمله‌ای $s^{2}+1$ بر $s+1$:

گام ۳ — معکوس‌گیری جمله به جمله. با استفاده از $\mathcal{L}^{-1}\{s\} = \dfrac{d\delta}{dt}$، $\mathcal{L}^{-1}\{1\} = \delta(t)$ و $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s+1}\right\} = e^{-t}u(t)$:

این همان گزینهٔ ۲ است.

بررسی با جای‌گذاری. با $h' = \delta'' - \delta' + 2\delta - 2e^{-t}u(t)$ (جملهٔ $2e^{-t}u(t)$ در $t=0$ به اندازهٔ $2$ پرش دارد که $2\delta$ را تولید می‌کند):

که دقیقاً همان سمت راست معادله، یعنی $\dfrac{d^{2}i_s}{dt^{2}} + i_s$ به ازای $i_s = \delta$ است.

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند. هر گزینه را به حوزهٔ $s$ برمی‌گردانیم:

نکتهٔ کنکوری: ضریب $\dfrac{d\delta}{dt}$ همان ضریب پیشروی خارج‌قسمت است که اینجا $+1$ می‌شود (نسبت جمله‌های با بالاترین درجه، $s^{2}/s$)؛ این موضوع گزینه‌های ۳ و ۴ را یک‌جا حذف می‌کند. ضریب $e^{-t}u(t)$ نیز مانده در $s=-1$ است: $\left.(s^{2}+1)\right\vert_{s=-1} = 2$، که تنها گزینهٔ ۲ را باقی می‌گذارد.