فضای ۰<φ<۴۵^∘ در دستگاه مختصات استوانهای از مادهای با ε_r=۳ پر شده و مابقی فضا خلأ است. بار خطی، چگالی ρ_ℓ روی محور z قرار گرفته است. میدان الکتریکی در نقطهٔ P(x,y,z)=(√۲,√۲,۱) چند (ρ_ℓ)/(πε_0) است؟ (شکل: صفحهٔ xy با محور z عمود بر صفحه؛ ناحیهٔ گوهای بین محور +x و خط φ=۴۵^∘ هاشور خورده و با ε_r=۳ مشخص شده است؛ بار خطی ρ_ℓ در مبدأ قرار دارد.)

سوال ۱۱۵ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

اهمیت

۰/۵

فضای $۰<\varphi<۴۵^\circ$ در دستگاه مختصات استوانه‌ای از ماده‌ای با $\varepsilon_r=۳$ پر شده و مابقی فضا خلأ است. بار خطی، چگالی $\rho_\ell$ روی محور $z$ قرار گرفته است. میدان الکتریکی در نقطهٔ $P(x,y,z)=(\sqrt{۲},\sqrt{۲},۱)$ چند $\dfrac{\rho_\ell}{\pi\varepsilon_0}$ است؟ (شکل: صفحهٔ $xy$ با محور $z$ عمود بر صفحه؛ ناحیهٔ گوه‌ای بین محور $+x$ و خط $\varphi=۴۵^\circ$ هاشور خورده و با $\varepsilon_r=۳$ مشخص شده است؛ بار خطی $\rho_\ell$ در مبدأ قرار دارد.)

پاسخ صحیح: گزینهٔ B — $\dfrac{۱}{۵}$

پاسخ تشریحی

صورت مسئله. یک بار خطی نامتناهی $\rho_\ell$ روی محور $z$ قرار دارد. گوهٔ $0<\varphi<45^\circ$ (زاویهٔ $\tfrac{\pi}{4}$ ) با $\varepsilon_r=3$ پر شده است؛ $315^\circ$ باقی‌مانده (زاویهٔ $\tfrac{7\pi}{4}$ ) خلأ است.

گام ۱ — شکل میدان. یک میدان کاملاً شعاعی $\mathbf{E}=E(\rho)\,\hat{\boldsymbol\rho}$ را امتحان می‌کنیم. دو مرز مشترک، نیم‌صفحه‌های $\varphi=0$ و $\varphi=45^\circ$ هستند و میدان شعاعی به‌طور کامل بر آن‌ها مماس است. در این صورت شرایط مرزی ایجاب می‌کنند که

مؤلفهٔ مماسی $\mathbf{E}$ پیوسته باشد $\Rightarrow$ $E(\rho)$ در دی‌الکتریک و در خلأ یکسان است؛
مؤلفهٔ عمودی $\mathbf{D}$ پیوسته باشد $\Rightarrow$ به‌طور بدیهی برقرار است، زیرا در هر دو طرف $D_\varphi=0$ است.

پس $\mathbf{E}$ در هر دو ناحیه یکسان است، در حالی که $\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}$ متفاوت است: $D_1=3\varepsilon_0E$ در گوه و $D_2=\varepsilon_0E$ در خلأ.

گام ۲ — قانون گاوس روی یک استوانهٔ هم‌محور به شعاع $\rho$ و طول $L$ :

\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=3\varepsilon_0E\cdot\frac{\pi}{4}\rho L+\varepsilon_0E\cdot\frac{7\pi}{4}\rho L=\rho_\ell L

\varepsilon_0E\,\rho\left(\frac{3\pi}{4}+\frac{7\pi}{4}\right)=\rho_\ell \;\Rightarrow\; E(\rho)=\frac{2\rho_\ell}{5\pi\varepsilon_0\,\rho}

گام ۳ — محاسبه در نقطهٔ $P$ . میدان فقط به فاصله از محور $z$ بستگی دارد، پس مختصهٔ $z=1$ هیچ نقشی ندارد:

\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2+2}=2

E=\frac{2\rho_\ell}{5\pi\varepsilon_0\cdot 2}=\frac{1}{5}\cdot\frac{\rho_\ell}{\pi\varepsilon_0}

نقطهٔ $P$ دقیقاً روی مرز مشترک $\varphi=45^\circ$ قرار دارد، اما این موضوع ابهامی ایجاد نمی‌کند، زیرا $E$ در هر دو طرف یکسان است. پاسخ $\tfrac{1}{5}$ است — گزینهٔ ۲.

بررسی درستی. نتیجه همان میدان یک بار خطی در محیطی با گذردهی میانگینِ وزن‌دار زاویه‌ای است:

\varepsilon_{\text{eff}}=\varepsilon_0\,\frac{3\cdot 45^\circ+1\cdot 315^\circ}{360^\circ}=\frac{5}{4}\varepsilon_0, \qquad E=\frac{\rho_\ell}{2\pi\varepsilon_{\text{eff}}\,\rho}=\frac{\rho_\ell}{2\pi\cdot\frac54\varepsilon_0\cdot 2}=\frac{\rho_\ell}{5\pi\varepsilon_0}

این مقدار، همان‌طور که باید، بین مقدار حالت تمام‌خلأ یعنی $\tfrac14$ و مقدار حالت تمام‌دی‌الکتریک یعنی $\tfrac1{12}$ (بر حسب واحد $\tfrac{\rho_\ell}{\pi\varepsilon_0}$ ) قرار می‌گیرد.

نکتهٔ کنکوری: هرگاه مرزهای دی‌الکتریک موازی با میدان باشند (گوه‌هایی پیرامون یک بار خطی، قطاع‌هایی پیرامون یک بار نقطه‌ای)، $\mathbf{E}$ در همه‌جا یکسان است و کافی است $\varepsilon$ را با میانگین وزن‌دار زاویه‌ای (یا وزن‌دار با زاویهٔ فضایی) جایگزین کنید: $E=\dfrac{\rho_\ell}{\rho\sum_i\varepsilon_i\,\Delta\varphi_i}$ .

تلهٔ رایج: از فاصلهٔ سه‌بعدی $\sqrt{2+2+1}=\sqrt5$ استفاده نکنید — برای بار خطی نامتناهی فقط فاصلهٔ عمودی $\rho=2$ اهمیت دارد. همچنین میدان خلأ را بر $\varepsilon_r$ تقسیم نکنید: آنچه در این مرزها پیوسته است $\mathbf{E}$ است، نه $\mathbf{D}$ .

#electrostatics#gauss-law#line-charge#dielectric-wedge#boundary-conditions

کارت‌های مرتبط

مفهومالکترومغناطیس

الکتروستاتیک و رسانش پایا: قانون گاوس، پتانسیل، دی‌الکتریک‌ها، ظرفیت و مقاومت

جعبه‌ابزار کامل بارهای ساکن و جریان‌های پایا در ماده: قانون گاوس برای E و D، پتانسیل و رابطهٔ E = -grad V، دی‌الکتریک‌ها همراه با بار مقید و شرایط مرزی، گذردهی تکه‌ای و تدریجی (سری در برابر موازی)، روش تصاویر، ظرفیت، و مقاومت رساناهای یکنواخت و غیریکنواخت به‌همراه دوگانی RC.

electrostaticsgauss-lawelectric-potentialdielectrics