سوال ۱۱۶ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

اهمیت

۰/۵

خازن ایده‌ئال زیر به ولتاژ $V_0$ وصل شده است. در حالت اول کل فضای خازن از هوا پر شده است ( $\varepsilon_r = ۱$ ). در حالت دوم یک تیغهٔ عایق با $\varepsilon_r = ۳$ و ارتفاع $\dfrac{d}{۳}$ وارد نصف خازن می‌کنیم (مطابق شکل). چگالی سطحی بار روی نیمهٔ سمت راست فلز پایین خازن نسبت به حالت اول، چند برابر می‌شود؟ (از اثرات لبه‌ای صرف‌نظر کنید.)

شکل: خازن صفحه‌موازی با فاصلهٔ صفحات $d$ که به باتری $V_0$ وصل است. تیغهٔ عایق به ضخامت $\dfrac{d}{۳}$ روی صفحهٔ پایین قرار دارد و فقط نیمهٔ سمت راست آن را می‌پوشاند؛ فضای $\dfrac{۲d}{۳}$ بالای تیغه و کل نیمهٔ چپ هوا است. $\rho_s$ روی صفحهٔ پایین، زیر تیغه، مشخص شده است.

پاسخ صحیح: گزینهٔ C — $\dfrac{۹}{۷}$

پاسخ تشریحی

صورت‌بندی. باتری متصل باقی می‌ماند، پس اختلاف پتانسیل بین صفحات در هر دو حالت برابر $V_0$ است. از اثر لبه‌ها (پخش‌شدگی میدان) صرف‌نظر می‌شود، بنابراین نیمهٔ چپ و نیمهٔ راست مانند دو ناحیهٔ مستقل صفحه‌موازی با $V_0$ یکسان رفتار می‌کنند؛ فقط نیمهٔ راست تغییر می‌کند.

روی سطح رسانا، چگالی بار سطحی آزاد برابر مؤلفهٔ عمودی چگالی شار الکتریکی است: $\rho_s = D_n$ .

حالت ۱ (تماماً هوا). میدان یکنواخت است، $E_1 = \dfrac{V_0}{d}$ ، پس

\rho_{s1} = \varepsilon_0 E_1 = \frac{\varepsilon_0 V_0}{d}

حالت ۲ (نیمهٔ راست). اکنون فاصلهٔ بین صفحات از دو لایهٔ سری تشکیل شده است: یک لایهٔ دی‌الکتریک ( $\varepsilon_r = 3$ ) به ضخامت $\dfrac{d}{3}$ روی صفحهٔ پایینی و یک لایهٔ هوا به ضخامت $\dfrac{2d}{3}$ بالای آن. روی مرز هوا–دی‌الکتریک بار آزادی وجود ندارد، پس $D$ عمود بر مرز است و در عبور از آن پیوسته می‌ماند:

E_{\text{air}} = \frac{D}{\varepsilon_0}, \qquad E_{\text{diel}} = \frac{D}{3\varepsilon_0}

شرط ولتاژ ثابت را اعمال می‌کنیم:

V_0 = E_{\text{air}}\cdot\frac{2d}{3} + E_{\text{diel}}\cdot\frac{d}{3} = \frac{D\,d}{\varepsilon_0}\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{9}\right) = \frac{7}{9}\,\frac{D\,d}{\varepsilon_0}

D = \frac{9}{7}\,\frac{\varepsilon_0 V_0}{d} \quad\Rightarrow\quad \rho_{s2} = D = \frac{9}{7}\,\rho_{s1}

پاسخ. چگالی بار سطحی آزاد روی نیمهٔ راست صفحهٔ پایینی $\dfrac{9}{7}$ برابر مقدار اولیه‌اش می‌شود — گزینهٔ ۳.

وارسی با ظرفیت در واحد سطح. لایه‌های سری یک فاصلهٔ هوایی مؤثر $d_{\text{eff}} = \dfrac{2d}{3} + \dfrac{d/3}{3} = \dfrac{7d}{9}$ می‌دهند، پس $C' = \dfrac{\varepsilon_0}{d_{\text{eff}}} = \dfrac{9}{7}\,\dfrac{\varepsilon_0}{d}$ و $\rho_s = C' V_0$ با همان ضریب $\dfrac{9}{7}$ تغییر می‌کند.

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند.

گزینه	از کجا می‌آید
$\dfrac{1}{3}$	تقسیم بر $\varepsilon_r$ به‌جای حل مسئلهٔ لایه‌های سری؛ در ولتاژ ثابت $V_0$ هیچ عاملی بار صفحه را کم نمی‌کند.
$\dfrac{7}{9}$	نسبت وارونه: $\dfrac{7}{9}$ برابر $d_{\text{eff}}/d$ است، نه $\rho_{s2}/\rho_{s1}$ .
$3$	فقط وقتی درست است که دی‌الکتریک کل ارتفاع $d$ فاصله را پر کند (در آن صورت $\rho_s = 3\varepsilon_0 V_0/d$ ).

نکتهٔ کنکوری: در ولتاژ ثابت، هر لایهٔ دی‌الکتریک به ضخامت $t$ را با ضخامت هوای معادل $t/\varepsilon_r$ جایگزین کنید. چگالی بار متناسب با $d/d_{\text{eff}}$ تغییر می‌کند: در اینجا $d_{\text{eff}} = \tfrac{2d}{3}+\tfrac{d}{9} = \tfrac{7d}{9}$ که بی‌درنگ $\tfrac{9}{7}$ را می‌دهد. نیمهٔ چپ (فقط هوا) تغییری نمی‌کند، پس نسبت آن $1$ باقی می‌ماند.

#parallel-plate-capacitor#dielectric#series-capacitors#surface-charge-density#boundary-conditions

کارت‌های مرتبط

مفهومالکترومغناطیس

الکتروستاتیک و رسانش پایا: قانون گاوس، پتانسیل، دی‌الکتریک‌ها، ظرفیت و مقاومت

جعبه‌ابزار کامل بارهای ساکن و جریان‌های پایا در ماده: قانون گاوس برای E و D، پتانسیل و رابطهٔ E = -grad V، دی‌الکتریک‌ها همراه با بار مقید و شرایط مرزی، گذردهی تکه‌ای و تدریجی (سری در برابر موازی)، روش تصاویر، ظرفیت، و مقاومت رساناهای یکنواخت و غیریکنواخت به‌همراه دوگانی RC.

electrostaticsgauss-lawelectric-potentialdielectrics