سوال ۱۱۷ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

صورت‌بندی. الکترودها عرقچین‌های کروی $r=a$ و $r=b$ هستند؛ بنابراین جریان به‌صورت شعاعی جاری می‌شود و $\sigma$ فقط به $r$ بستگی دارد. در این صورت رسانا مجموعه‌ای از پوسته‌های نازک عرقچینیِ کروی است که به‌صورت سری قرار گرفته‌اند و هر کدام ضخامت $dr$ و سطح مقطع $A(r)$ دارند:

سطح مقطع. مساحت عرقچینی به شعاع $r$ که درون مخروط $0\le\theta\le\theta_0$ قرار دارد برابر است با

ساده‌شدن کلیدی. با $\sigma = \sigma_0/r^{2}$ داریم

که مستقل از $r$ است. در نتیجه

این همان گزینهٔ ۴ است.

راستی‌آزمایی با روش میدان. فرض کنید جریان کل $I$ به‌صورت شعاعی جاری باشد. از پیوستگی جریان نتیجه می‌شود $J_r = \dfrac{I}{2\pi r^{2}(1-\cos\theta_0)}$، پس

یک میدان شعاعی یکنواخت است و $V = \int_a^b E_r\,dr = \dfrac{I\,(b-a)}{2\pi\sigma_0(1-\cos\theta_0)}$ که همان $R = V/I$ را می‌دهد. (این $J$ شعاعی بر دیوارهٔ عایق $\theta=\theta_0$ مماس است و $\mathbf{E}=E_0\,\hat{r}$ بدون کرل است، پس این پاسخ دقیق است.)

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند.

نکتهٔ کنکوری: چون $\sigma=\sigma_0/r^{2}$ است، ثابت $\sigma_0$ دارای یکای $\text{S}\cdot\text{m}$ است. بنابراین مقاومت باید به شکل $\dfrac{\text{length}}{\sigma_0}$ باشد. فقط $b-a$ از جنس طول است؛ گزینه‌های ۱، ۲ و ۳ به‌ترتیب $\Omega/\text{m}^{2}$، $\Omega/\text{m}^{3}$ و $\Omega\cdot\text{m}$ می‌دهند. تحلیل ابعادی به‌تنهایی گزینهٔ ۴ را مشخص می‌کند.