سوال ۶۲ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

توپولوژی مدار. جریان مرجع $1\,\text{mA}$ یعنی $I_R$ به گره‌ای وارد می‌شود که به کلکتور $Q_1$، به بیس $Q_2$ و به یک سر $R_B$ متصل است. سر دیگر $R_B$ بیس $Q_1$ است. هر دو امیتر زمین شده‌اند. پس ولتاژ این گره برابر $V_{BE2}$ است و بیس $Q_1$ به اندازهٔ افت ولتاژ دو سر $R_B$ پایین‌تر قرار می‌گیرد:

$V_{BE1}=V_{BE2}-I_{B1}R_B$

این افت ولتاژ باعث می‌شود $V_{BE2}>V_{BE1}$ شود و در نتیجه $I_{C2}$ را بالاتر از نسبت سطح سادهٔ 5 می‌برد.

گام ۱ — جریان‌ها از KCL. باید $I_{out}=I_{C2}=5\,\text{mA}$ باشد، پس

$I_{B2}=\frac{I_{C2}}{\beta_2}=\frac{5\,\text{mA}}{10}=0.5\,\text{mA}$

KCL در گرهٔ مرجع:

$I_R=I_{C1}+I_{B1}+I_{B2}\;\Rightarrow\; I_{C1}+I_{B1}=1-0.5=0.5\,\text{mA}$

با $\beta_1=100$:

$I_{C1}=\frac{100}{101}(0.5\,\text{mA})\approx 0.495\,\text{mA},\qquad I_{B1}=\frac{0.5\,\text{mA}}{101}\approx 4.95\,\mu\text{A}$

گام ۲ — مقدار لازم $\Delta V_{BE}$. با $I_{S2}=5I_{S1}$ (نسبت سطح) و $V_A=\infty$:

$\frac{I_{C2}}{I_{C1}}=\frac{I_{S2}}{I_{S1}}\,e^{(V_{BE2}-V_{BE1})/V_T}=5\,e^{\Delta V_{BE}/V_T}$

$\frac{5}{0.495}\approx 10.1=5\,e^{\Delta V_{BE}/V_T}\;\Rightarrow\; e^{\Delta V_{BE}/V_T}\approx 2$

$\Delta V_{BE}=V_T\ln 2=25\,\text{mV}\times 0.7=17.5\,\text{mV}$

گام ۳ — مقاومت. این ولتاژ دقیقاً همان افت ولتاژ ناشی از $I_{B1}$ روی $R_B$ است:

$R_B=\frac{\Delta V_{BE}}{I_{B1}}=\frac{17.5\,\text{mV}}{4.95\,\mu\text{A}}\approx 3.5\,\text{k}\Omega$

این همان گزینهٔ ۴ است و با کلید رسمی مطابقت دارد.

بررسی گزینهٔ ۱ ($R_B=0$). در این حالت $I_{C2}=5I_{C1}$ است و KCL می‌دهد $1=I_{C1}\left(1+\tfrac{1}{100}\right)+\tfrac{5I_{C1}}{10}=1.51\,I_{C1}$، پس $I_{C1}\approx 0.66\,\text{mA}$ و $I_{out}\approx 3.3\,\text{mA}$ — نه $5\,\text{mA}$. مقدار کم $\beta_2=10$ نیم میلی‌آمپر جریان بیس می‌رباید و $R_B$ همان چیزی است که این کمبود را جبران می‌کند.

نکتهٔ کنکوری: دادهٔ $\ln 2=0.7$ سرنخی است که نشان می‌دهد نسبت لازم $I_{C2}/(5I_{C1})$ باید برابر $2$ درآید. از KCL مقدار $I_{C1}\approx 0.5\,\text{mA}$ را به دست آورید (پس از کم کردن $I_{B2}=0.5\,\text{mA}$)، سپس $R_B=V_T\ln 2/I_{B1}=17.5\,\text{mV}/5\,\mu\text{A}=3.5\,\text{k}\Omega$.

تلهٔ رایج: از $I_{B2}$ صرف‌نظر نکنید. با $\beta_2=10$ مقدار آن $0.5\,\text{mA}$ است — یعنی نصف جریان مرجع — پس $I_{C1}$ حدود $0.5\,\text{mA}$ است، نه $1\,\text{mA}$.