سوال ۷۶ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

Official key / کلید رسمی: کلید رسمی گزینهٔ ۱ است ($\frac{1200}{\pi}$). حل استاندارد زیر به گزینهٔ ۲ می‌رسد ($\frac{600}{\pi}$)؛ گزینهٔ ۱ تنها در صورتی به دست می‌آید که سرعت سنکرون به‌جای $50\pi$ rad/s مربوط به ماشین ۴ قطبی ۵۰ هرتز، برابر $25\pi$ rad/s (یعنی 750 rpm، معادل یک ماشین ۸ قطبی) گرفته شود.

ایده. در حالت سکون ($s=1$) هیچ توان مکانیکی تولید نمی‌شود، پس تمام توان فاصلهٔ هوایی در روتور تلف می‌شود و گشتاور راه‌اندازی برابر است با

(در آزمایش روتور قفل‌شده از تلفات هسته صرف‌نظر می‌شود).

1) مقاومت استاتور در هر فاز. در اتصال ستاره، مقاومت بین دو ترمینال برابر دو سیم‌پیچ فاز به‌صورت سری است:

2) توان فاصلهٔ هوایی در آزمایش ($V_L=200$ V، $I=20$ A، $P_{in}=8700$ W):

به‌طور معادل $R_2'=\dfrac{7500}{3(20)^{2}}=6.25\ \Omega$.

3) تبدیل به ولتاژ نامی. فرکانس تغییر نمی‌کند (۵۰ هرتز)، پس امپدانس روتور قفل‌شده همان است و جریان متناسب با ولتاژ است: $I_{st}=20\cdot\frac{400}{200}=40$ A. توان با مجذور ولتاژ تغییر می‌کند:

4) سرعت سنکرون (۴ قطب، ۵۰ هرتز):

5) گشتاور راه‌اندازی.

این همان گزینهٔ ۲ است. مقدار کلید $\frac{1200}{\pi}=\frac{30000}{25\pi}$ از همان توان فاصلهٔ هوایی ۳۰ کیلووات استفاده می‌کند، اما با $\omega_s=25\pi$ rad/s؛ یعنی همان چیزی که $\frac{2\pi f}{P}$ می‌دهد وقتی تعداد قطب‌ها (۴) در جایی قرار گیرد که باید تعداد زوج‌قطب‌ها (۲) باشد.

تلهٔ رایج: سه جا احتمال خطا وجود دارد: (i) مقاومت ترمینال به ترمینال سیم‌پیچ ستاره $2R_1$ است، نه $R_1$؛ (ii) گشتاور در فرکانس ثابت با $V^{2}$ متناسب است، پس ضریب تبدیل از ۲۰۰ ولت به ۴۰۰ ولت برابر ۴ است، نه ۲؛ (iii) $\omega_s=\frac{2\pi f}{p}$ که در آن $p$ = تعداد زوج‌قطب‌ها است. همچنین توجه کنید که داده‌های مسئله از نظر فیزیکی سازگار نیستند: توان ظاهری آزمایش $\sqrt{3}(200)(20)\approx 6928$ VA است که از ۸٫۷ کیلووات داده‌شده کمتر است؛ بنابراین اعداد فقط برای محاسبات بالا در نظر گرفته شده‌اند.