سوال ۱۰۳ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

ایده. یک $H(\omega)$ گویا به‌تنهایی $h(t)$ را مشخص نمی‌کند؛ آنچه آن را مشخص می‌کند این واقعیت است که تبدیل فوریه وجود دارد، یعنی ناحیهٔ همگرایی (ROC) تابع $H(s)$ محور $j\omega$ را در بر می‌گیرد.

گام ۱ — رفتن به صفحهٔ $s$. قرار می‌دهیم $s = j\omega$:

یک قطب در $s = 2$ (نیم‌صفحهٔ راست) و یک صفر در $s = -1$ وجود دارد.

گام ۲ — علّی بودن. دو ناحیهٔ همگرایی ممکن عبارت‌اند از $\operatorname{Re}\{s\} > 2$ و $\operatorname{Re}\{s\} < 2$. فقط $\operatorname{Re}\{s\} < 2$ محور $j\omega$ را در بر دارد، پس ناحیهٔ همگرایی همین است. ناحیهٔ همگرایی در سمت چپ قطب به معنای پاسخ ضربهٔ چپ‌سو است. به‌طور صریح، با تجزیه به کسرهای جزئی

و با استفاده از $-e^{2t}u(-t) \leftrightarrow \dfrac{1}{s-2}$ برای $\operatorname{Re}\{s\} < 2$:

چون $h(t) \ne 0$ برای $t < 0$، سیستم غیرعلّی است (البته پایدار است، زیرا $h$ مطلقاً انتگرال‌پذیر است).

گام ۳ — وارون‌پذیری. سیستم وارون باید در رابطهٔ $H(\omega)H_{i}(\omega) = 1$ صدق کند:

این یک سیستم LTI کاملاً خوش‌تعریف (و در واقع علّی و پایدار) است، پس سیستم اصلی وارون‌پذیر است. به‌طور معادل، $\lvert H(\omega)\rvert^{2} = \dfrac{1+\omega^{2}}{4+\omega^{2}}$ هرگز صفر نمی‌شود، بنابراین هیچ مؤلفهٔ فرکانسی ورودی از بین نمی‌رود و ورودی همواره قابل بازیابی است.

نتیجه. غیرعلّی و وارون‌پذیر — گزینهٔ ۱، مطابق با کلید رسمی.

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند. گزینه‌های ۲ و ۳ مدعی علّی بودن هستند که مستلزم ناحیهٔ همگرایی $\operatorname{Re}\{s\} > 2$ است؛ در آن صورت $h(t) = -\delta(t) - 3e^{2t}u(t)$ بی‌کران رشد می‌کند و تبدیل فوریه ندارد، که با صورت سؤال در تناقض است. گزینه‌های ۳ و ۴ مدعی وارون‌ناپذیری هستند که مستلزم $H(\omega) = 0$ در یک $\omega$ حقیقی است؛ تنها صفر در $s = -1$ قرار دارد که روی محور $j\omega$ نیست.

نکتهٔ کنکوری: «تبدیل فوریه وجود دارد» یعنی ناحیهٔ همگرایی محور $j\omega$ را در بر دارد. در این صورت قطبی در نیم‌صفحهٔ راست، $h(t)$ چپ‌سو (غیرعلّی) را تحمیل می‌کند. برای وارون‌پذیری کافی است بررسی کنید که آیا $H(\omega)$ به ازای $\omega$ حقیقی‌ای صفر می‌شود یا نه — در اینجا هرگز صفر نمی‌شود.