سوال ۱۰۴ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

سیگنال‌ها و سیستم‌هامتوسطتحلیل فوریهٔ زمان‌گسسته

اهمیت

۰/۵

ضرایب سری فوریهٔ سیگنال زمان گسستهٔ متناوب $x[n]$ با پریود $N=۶$ را $a_k$ می‌نامیم. در این‌صورت ضرایب سری فوریهٔ سیگنال متناوب زمان پیوستهٔ $y(t)$ با تعریف $y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\,\delta(t-۴n)$ ، کدام است؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ B — $\frac{۱}{۴}a_k$

پاسخ تشریحی

صورت‌بندی. ضرایب سری فوریهٔ گسسته‌زمان (DTFS) سیگنال $x[n]$ با دورهٔ تناوب $N=6$ عبارت‌اند از

a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\,e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}=\frac{1}{6}\sum_{n=0}^{5}x[n]\,e^{-jk\frac{\pi}{3}n}.

دورهٔ تناوب $y(t)$ . ضربه‌های $y(t)$ در لحظه‌های $t=4n$ و با وزن‌های $x[n]$ قرار دارند. چون $x[n+6]=x[n]$ ، الگوی وزن‌ها پس از ۶ ضربه، یعنی پس از $4\times 6=24$ واحد زمان، تکرار می‌شود:

T=4N=24,\qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{12}.

ضرایب CTFS سیگنال $y(t)$ . با انتگرال‌گیری روی یک دورهٔ تناوب که ضربه‌های $n=0,1,\dots,5$ را در بر دارد (بازهٔ $[0^-,24^-)$ را در نظر بگیرید) و با استفاده از خاصیت غربالی:

c_k=\frac{1}{T}\int_{T}y(t)\,e^{-jk\omega_0 t}\,dt=\frac{1}{24}\sum_{n=0}^{5}x[n]\,e^{-jk\frac{\pi}{12}\cdot 4n}=\frac{1}{24}\sum_{n=0}^{5}x[n]\,e^{-jk\frac{\pi}{3}n}.

این مجموع دقیقاً برابر $N a_k=6a_k$ است، پس

c_k=\frac{6a_k}{24}=\frac{1}{4}a_k .

این همان گزینهٔ ۲ است.

قاعدهٔ کلی. برای $y(t)=\sum_n x[n]\,\delta(t-nT_s)$ که در آن $x[n]$ دارای دورهٔ تناوب $N$ است: $T=NT_s$ و $c_k=\dfrac{N a_k}{N T_s}=\dfrac{a_k}{T_s}$ . نتیجه فقط به فاصلهٔ ضربه‌ها $T_s=4$ بستگی دارد، نه به $N$ .

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینه	اشتباهی که به آن می‌انجامد
$\tfrac{1}{6}a_k$	تقسیم بر $N=6$ به‌جای تقسیم بر فاصلهٔ ضربه‌ها $T_s=4$
$4a_k$	وارونه کردن نسبت: $T/N=24/6$ به‌جای $N/T=6/24$
$6a_k$	فراموش کردن ضریب $1/T$ در CTFS، که تنها $\sum_{n=0}^{5}x[n]e^{-jk\pi n/3}=6a_k$ را باقی می‌گذارد

نکتهٔ کنکوری: تبدیل یک دنبالهٔ متناوب به قطار ضربه با فاصلهٔ $T_s$ همان دنبالهٔ ضرایب را حفظ می‌کند و فقط آن را در $1/T_s$ ضرب می‌کند: $c_k=a_k/T_s$ . توجه کنید که در نتیجه $c_k$ نیز نسبت به $k$ متناوب با دورهٔ تناوب $N=6$ است؛ همان‌طور که از یک سیگنال قطار ضربه (از نوع نمونه‌برداری‌شده) انتظار می‌رود.

#fourier-series#dtfs#ctfs#impulse-train#periodic-signals

کارت‌های مرتبط

مفهومسیگنال‌ها و سیستم‌ها

فوریهٔ زمان‌گسسته: DTFS، DTFT و DFT

سه ابزار فوریهٔ زمان‌گسسته — DTFS برای دنباله‌های متناوب، DTFT برای دنباله‌های نامتناوب و DFT برای بلوک‌های با طول محدود — همراه با زوج‌های تبدیل (از جمله هستهٔ دیریکله)، خواص (انتقال، وارون‌سازی زمانی، مزدوج‌گیری، مقیاس‌دهی، مشتق‌گیری در حوزهٔ فرکانس، تقارن، پارسوال)، تقارن‌های ضرایب DTFS، ارتباط قطار ضربه با سری فوریهٔ زمان‌پیوسته، و روش‌هایی برای وارون‌کردن طیف‌های مرکب، محاسبهٔ انتگرال‌های طیفی به‌صورت نمونه و دسته‌بندی سیستم‌ها از روی یک رابطهٔ حوزهٔ فرکانس.

dtftdtfsdftdirichlet-kernel