x(t) ، سیگنال زمان پیوسته با انرژی E_x به یک سیستم LTI با پاسخ ضربهٔ h(t)=1/t ، بهعنوان ورودی اعمال میشود. اگر y(t) سیگنال خروجی باشد، در اینصورت انرژی y(t) ، کدام است؟

سوال ۱۰۵ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

سیگنال‌ها و سیستم‌هامتوسطتحلیل فوریهٔ زمان‌پیوسته

اهمیت

۰/۵

$x(t)$ ، سیگنال زمان پیوسته با انرژی $E_x$ به یک سیستم LTI با پاسخ ضربهٔ $h(t)=\dfrac{1}{t}$ ، به‌عنوان ورودی اعمال می‌شود. اگر $y(t)$ سیگنال خروجی باشد، در این‌صورت انرژی $y(t)$ ، کدام است؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ C — $\pi^{۲}E_x$

پاسخ تشریحی

ایده: یک سیستم LTI طیف انرژی را در $\lvert H(j\omega)\rvert^{2}$ ضرب می‌کند؛ بنابراین فقط به پاسخ دامنهٔ $h(t)=\dfrac{1}{t}$ و رابطهٔ پارسوال نیاز داریم.

گام ۱ — تبدیل فوریهٔ $1/t$ . از زوج تبدیل شناخته‌شدهٔ زیر شروع می‌کنیم

\operatorname{sgn}(t)\ \longleftrightarrow\ \frac{2}{j\omega}

و خاصیت دوگانی، $X(t)\longleftrightarrow 2\pi\,x(-\omega)$ ، را به کار می‌بریم:

\frac{2}{jt}\ \longleftrightarrow\ 2\pi\operatorname{sgn}(-\omega)=-2\pi\operatorname{sgn}(\omega)

با ضرب دو طرف در $\dfrac{j}{2}$ :

h(t)=\frac{1}{t}\ \longleftrightarrow\ H(j\omega)=-j\pi\operatorname{sgn}(\omega)

گام ۲ — پاسخ دامنه. برای هر $\omega\neq 0$ ،

\lvert H(j\omega)\rvert=\pi

پس سیستم یک تمام‌گذر با بهرهٔ $\pi$ است: فاز را برای $\omega>0$ به اندازهٔ $-90^{\circ}$ و برای $\omega<0$ به اندازهٔ $+90^{\circ}$ جابه‌جا می‌کند. (تک‌نقطهٔ $\omega=0$ اندازهٔ صفر دارد و بر انتگرال انرژی اثری نمی‌گذارد.)

گام ۳ — پارسوال. با $Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)$ ،

E_y=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\lvert H(j\omega)\rvert^{2}\,\lvert X(j\omega)\rvert^{2}\,d\omega =\pi^{2}\cdot\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\lvert X(j\omega)\rvert^{2}\,d\omega=\pi^{2}E_x

در نتیجه $E_y=\pi^{2}E_x$ — گزینهٔ ۳.

تفسیر. مبدل هیلبرت پاسخ ضربهٔ $\dfrac{1}{\pi t}$ و پاسخ فرکانسی $-j\operatorname{sgn}(\omega)$ دارد؛ پس در اینجا $y(t)=\pi\,\hat{x}(t)$ که در آن $\hat{x}(t)$ تبدیل هیلبرت $x(t)$ است. تبدیل هیلبرت انرژی را حفظ می‌کند و ضریب اضافی $\pi$ در دامنه، در انرژی به $\pi^{2}$ تبدیل می‌شود.

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینه	دلیل نادرستی
$\tfrac{1}{3}E_x$	هیچ ضریب $\tfrac13$ در هیچ جای حل ظاهر نمی‌شود؛ برای همهٔ $\omega\neq0$ داریم $\lvert H\rvert^{2}=\pi^{2}$ .
$E_x$	این پاسخ برای مبدل هیلبرت واقعی $h(t)=\dfrac{1}{\pi t}$ درست است که بهرهٔ آن $1$ است. در اینجا ضریب $\dfrac{1}{\pi}$ وجود ندارد.
$\infty$	وسوسه‌انگیز است، چون $h(t)=1/t$ نه مطلقاً انتگرال‌پذیر است و نه انرژی محدود دارد؛ اما انرژی خروجی به $\lvert H(j\omega)\rvert$ بستگی دارد که کران‌دار (برابر با $\pi$ ) است.

نکتهٔ کنکوری: زوج $\dfrac{1}{\pi t}\longleftrightarrow -j\operatorname{sgn}(\omega)$ را به خاطر بسپارید. در این صورت هر پاسخ ضربهٔ $\dfrac{k}{t}$ یک تمام‌گذر با بهرهٔ $k\pi$ است و انرژی خروجی بدون نیاز به انتگرال‌گیری برابر $k^{2}\pi^{2}E_x$ می‌شود.

#parseval#hilbert-transform#signal-energy#frequency-response#duality#lti-system

کارت‌های مرتبط

مفهومسیگنال‌ها و سیستم‌ها

سری و تبدیل فوریهٔ زمان‌پیوسته

سری فوریه یک سیگنال متناوب را بر حسب هارمونیک‌ها و تبدیل فوریه یک سیگنال نامتناوب را بر حسب پیوستاری از نمایی‌ها بسط می‌دهد؛ ابزارهای کاری عبارت‌اند از زوج‌های تحلیل/ترکیب، جدول خواص تبدیل و سری، رابطهٔ پارسوال و رابطهٔ انرژی خروجی یک سیستم LTI (از جمله تبدیل‌گر هیلبرت)، میان‌برهای محاسبهٔ نقطه‌ای، و دوگانی‌هایی که تکرار متناوب را به نمونه‌برداری از طیف و DTFT را به یک سری فوریه پیوند می‌دهند.

fourier-transformfourier-seriesparsevalconvolution-property