سوال ۸۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

مرتبهٔ یک جایگشت

مرتبهٔ یک جایگشت برابر با کوچک‌ترین مضرب مشترک طول‌های دورهای آن است. به دنبال جایگشت‌هایی از $\{1,\dots,7\}$ هستیم که طول‌های دورهایشان $\operatorname{lcm} = 12 = 2^2\cdot 3$ باشد.

کدام نوع‌های دور کارساز هستند؟

برای به‌دست‌آوردن عامل $2^2$ طول‌ها باید شامل مضربی از $4$ باشند (تنها خودِ $4$ مناسب است، زیرا $8>7$). برای به‌دست‌آوردن عامل $3$ طول‌ها باید شامل مضربی از $3$ باشند (یا $3$ یا $6$). طول‌ها یک افراز از $7$ تشکیل می‌دهند:

• یک دورِ $4$-تایی به $4$ نقطه نیاز دارد؛ یک دورِ $3$-تایی به $3$ نقطه نیاز دارد: $4+3=7$. ✔ نوع دور $(4,3)$، $\operatorname{lcm}(4,3)=12$.
• استفاده از یک دورِ $6$-تایی برای عامل $3$ به $4+6=10>7$ نیاز دارد. ✘

پس تنها نوع دوری که مرتبهٔ $12$ می‌دهد $(4,3)$ است (یک دورِ ۴-تایی و یک دورِ ۳-تایی، با استفاده از تمام ۷ نقطه).

شمارش نوع دور $(4,3)$

تعداد جایگشت‌های یک نوع دور مشخص در $S_n$ برابر است با $\frac{n!}{\prod_k \big(k^{m_k}\, m_k!\big)},$ که در آن $m_k$ تعداد دورهای $k$-تایی است. در اینجا $m_4=1,\ m_3=1$: $\frac{7!}{4^{1}\cdot 1!\;\cdot\; 3^{1}\cdot 1!}=\frac{5040}{4\cdot 3}=\frac{5040}{12}=420.$

بررسی مستقیم: $4$ نقطه برای دورِ ۴-تایی را به $\binom{7}{4}=35$ روش انتخاب می‌کنیم؛ آن‌ها را به $(4-1)!=6$ روش در یک دورِ ۴-تایی می‌چینیم؛ $3$ نقطهٔ باقی‌مانده به $(3-1)!=2$ روش یک دورِ ۳-تایی تشکیل می‌دهند: $35\cdot 6\cdot 2 = 420.$

بنابراین $\boxed{420}$ عنصر از مرتبهٔ ۱۲ وجود دارد.

نکتهٔ کنکوری: مرتبه $=\operatorname{lcm}$ طول‌های دورهاست — ابتدا افرازهای $n$ را که lcm آن‌ها به هدف می‌رسد فهرست کنید، سپس هر یک را با $n!/\prod k^{m_k}m_k!$ بشمارید. فراموش نکنید که $(k-1)!$ روش برای چیدن یک دورِ $k$-تایی وجود دارد.