سوال ۸۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

در گروه جمعی $\mathbb{Z}_{48}$ کار می‌کنیم. برای $a\in\mathbb{Z}_n$ زیرگروه دوری $\langle a\rangle$ برابر با $\langle \gcd(a,n)\rangle$ است و مرتبهٔ آن برابر است با $|\langle a\rangle|=\frac{n}{\gcd(a,n)}.$

دو زیرگروه. $|H|=|\langle 4\rangle|=\frac{48}{\gcd(4,48)}=\frac{48}{4}=12,\qquad |K|=|\langle 6\rangle|=\frac{48}{\gcd(6,48)}=\frac{48}{6}=8.$

حاصل‌ضرب $HK$. چون $\mathbb{Z}_{48}$ آبلی است، $H$ و $K$ نرمال هستند، پس $HK$ یک زیرگروه است و در اینجا برابر با مجموع آن‌هاست: $HK=H+K=\langle 4\rangle+\langle 6\rangle=\langle 4,6\rangle=\langle \gcd(4,6)\rangle=\langle 2\rangle.$ بنابراین $|HK|=|\langle 2\rangle|=\frac{48}{\gcd(2,48)}=\frac{48}{2}=24.$

بررسی متقابل با فرمول حاصل‌ضرب. برای زیرگروه‌های متناهی داریم $|HK|=\frac{|H|\,|K|}{|H\cap K|}.$ اشتراک دو زیرگروه دوری از $\mathbb{Z}_n$ توسط $\operatorname{lcm}$ مولدها تولید می‌شود: $H\cap K=\langle 4\rangle\cap\langle 6\rangle=\langle \operatorname{lcm}(4,6)\rangle=\langle 12\rangle,\qquad |H\cap K|=\frac{48}{12}=4.$ پس $|HK|=\frac{12\cdot 8}{4}=24.$

هر دو راه به $|HK|=24$ می‌رسند، که گزینهٔ ۴ است.

نکتهٔ کنکوری: در $\mathbb{Z}_n$، مجموع و اشتراک زیرگروه‌های دوری به نظریهٔ اعداد تقلیل می‌یابد: $\langle a\rangle+\langle b\rangle=\langle\gcd(a,b)\rangle$ و $\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=\langle\operatorname{lcm}(a,b)\rangle$، پس هرگز لازم نیست عناصر را فهرست کنید.