سوال ۸۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

ابتدا توجه کنید که $I$ یک زیرگروه جمعی از $R = M_2(\mathbb{F})$ است: این مجموعه دقیقاً همان ماتریس‌هایی است که سطر بالایشان صفر است، و نسبت به جمع و قرینه‌گیری بسته است. پس تنها پرسش این است که آیا $I$ ضرب از راست و/یا از چپ را جذب می‌کند یا نه.

ایده‌آل راست — بررسی $XM \in I$. یک $X = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ a & b \end{bmatrix} \in I$ عمومی و هر $M = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} \in R$ را در نظر بگیرید. آنگاه

$XM = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ a & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ ap+br & aq+bs \end{bmatrix}.$

سطر بالا همچنان $0$ است، پس $XM \in I$. (از دید مفهومی: سطر اول حاصل‌ضرب $XM$ برابر است با (سطر اول $X$)$\cdot M$ $= 0 \cdot M = 0$.) بنابراین $I$ یک ایده‌آل راست است.

ایده‌آل چپ — بررسی $MX \in I$. با همان ماتریس‌ها،

$MX = \begin{bmatrix} p & q \\ r & s \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ a & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} qa & qb \\ sa & sb \end{bmatrix}.$

سطر بالا $(qa,\, qb)$ است که لزوماً صفر نیست. به‌طور مشخص، $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ و $X = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \in I$ را در نظر بگیرید:

$MX = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \notin I.$

پس $I$ یک ایده‌آل چپ نیست.

بنابراین $I$ یک ایده‌آل راست از $R$ است ولی ایده‌آل چپ نیست — گزینهٔ ۱.

نکتهٔ کنکوری: در $M_n(\mathbb{F})$، مجموعهٔ ماتریس‌هایی با مجموعه‌ای ثابت از سطرهای صفر همواره یک ایده‌آل راست است (ضرب از راست به‌صورت سطری عمل می‌کند)، در حالی که مجموعه‌ای ثابت از ستون‌های صفر یک ایده‌آل چپ می‌دهد (ضرب از چپ به‌صورت ستونی عمل می‌کند). اینجا سطر بالا صفر شده است، پس یک ایده‌آل راست است.