سوال ۸۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

در گروه‌های جمعی $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4$ (از مرتبهٔ $16$) و $\mathbb{Z}_4$ (از مرتبهٔ $4$) کار می‌کنیم، با $f(a,b)=2a+2b\pmod 4$.

تشکیل هسته. بنا به تعریف، $\ker f=\{(a,b)\in\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4 : 2a+2b\equiv 0\pmod 4\}.$ چون $2a+2b=2(a+b)$، شرط $2(a+b)\equiv 0\pmod 4$ معادل $a+b\equiv 0\pmod 2$ است، یعنی $a+b$ زوج است.

شمارش جواب‌ها. برای $a,b\in\{0,1,2,3\}$، مجموع $a+b$ دقیقاً وقتی زوج است که $a$ و $b$ زوجیت یکسان داشته باشند:

• هر دو زوج: $a\in\{0,2\}$، $b\in\{0,2\}$ که $2\cdot 2=4$ زوج مرتب می‌دهد؛
• هر دو فرد: $a\in\{1,3\}$، $b\in\{1,3\}$ که $2\cdot 2=4$ زوج مرتب می‌دهد.

پس $|\ker f|=4+4=8$.

بررسی متقابل با قضیهٔ یکریختی اول. تصویر عبارت است از $\operatorname{im} f=\{2(a+b)\bmod 4 : a,b\in\mathbb{Z}_4\}=\{0,2\},$ که مرتبهٔ آن $2$ است. بنابراین $|\ker f|=\frac{|\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4|}{|\operatorname{im} f|}=\frac{16}{2}=8,$ که شمارش را تأیید می‌کند.

نکتهٔ کنکوری: برای یک همریختی میان گروه‌های متناهی، $|\ker f|\cdot|\operatorname{im} f|=|G|$. یافتن تصویر کوچک (اینجا $\{0,2\}$) بسیار سریع‌تر از برشمردن هر $16$ پیش‌تصویر است.