همریختی‌های گروهی و قضایای یکریختی

هستهٔ ساختاری نظریهٔ گروه‌ها: اینکه چگونه یک همریختی یک گروه را به گروهی دیگر منتقل می‌کند، دو زیرگروهی ($\ker f$، $\operatorname{im} f$) که پدید می‌آورد، و قضایای یکریختی که آن‌ها را به هم مرتبط می‌سازند. این کارت مکمّل کارت مبانی نظریهٔ گروه‌ها است (مرتبه‌ها، گروه‌های دوری، لاگرانژ) — در اینجا موضوع مطالعه نگاشت است، نه گروه.

۱. تعریف و ویژگی‌های بازتابی

نگاشت $f:G\to H$ میان دو گروه یک همریختی است هرگاه عمل گروه را حفظ کند: $f(xy)=f(x)\,f(y)\qquad\text{for all }x,y\in G$ (به شکل جمعی، $f(x+y)=f(x)+f(y)$). چهار نتیجه بخش عمدهٔ کار کنکوری را انجام می‌دهند:

• $f(e_G)=e_H$ و $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$؛
• $f(x^{k})=f(x)^{k}$، و از این رو $\operatorname{ord}\big(f(x)\big)\mid\operatorname{ord}(x)$ — تحت یک همریختی مرتبه‌ها فقط می‌توانند کاهش‌یابنده و شمارنده باشند، هرگز بزرگ نمی‌شوند؛
• $f$ با مقادیرش روی یک مجموعهٔ مولّد تعیین می‌شود: اگر $G=\langle S\rangle$ باشد، دانستن $f$ روی $S$ آن را همه‌جا معیّن می‌کند؛
• تصویر یک مجموعهٔ مولّد، تصویر را تولید می‌کند: $f(\langle S\rangle)=\langle f(S)\rangle$.

نام‌گذاری بر پایهٔ هدف/رفتار: درون‌ریختی ($H=G$)، یکریختی (همریختی دوسویه؛ آنگاه $G\cong H$)، خودریختی (درون‌ریختی دوسویه). خودریختی‌های $G$ تحت ترکیب یک گروه $\operatorname{Aut}(G)$ تشکیل می‌دهند.

۲. هسته و تصویر — دو زیرگروه وابسته

$\ker f=\{g\in G: f(g)=e_H\}\ \trianglelefteq\ G,\qquad \operatorname{im} f=f(G)\ \le\ H.$

هسته همواره نرمال در $G$ است (تارِ روی همانی است و تحت مزدوج‌سازی بسته است)؛ تصویر یک زیرگروه از $H$ است (نه لزوماً نرمال). دو آزمون که پیوسته به کار می‌روند:

• یک‌به‌یکی: $f$ یک‌به‌یک است $\iff \ker f=\{e_G\}$. به‌طور دقیق‌تر $f(x)=f(y)\iff xy^{-1}\in\ker f$، پس تارهای $f$ دقیقاً هم‌مجموعه‌های $\ker f$ هستند — هر مقدار توسط $|\ker f|$ ورودی حاصل می‌شود.
• پوشایی: $f$ پوشا است $\iff \operatorname{im} f=H$.

۳. قضایای یکریختی

قضیهٔ یکریختی اول (بنیادی). برای هر همریختی $f:G\to H$، $G/\ker f\;\cong\;\operatorname{im} f.$ هر خارج‌قسمت (تا یکریختی) یک تصویر است، و هر تصویر (تا یکریختی) یک خارج‌قسمت است — دو دیدگاه بر هم منطبق می‌شوند. برای $G$ متناهی این به اتحاد شمارشی فرو می‌کاهد که بیشتر مسائل هسته/تصویر را می‌گشاید: $|\ker f|\cdot|\operatorname{im} f|=|G|.$

قضایای بالاتر و گزارهٔ شبکه‌ای:

۴. روش — چگونه به این پرسش‌ها حمله کنیم

(الف) مقداردهی یک همریختی در یک نقطه. هرگز مقادیر را عنصربه‌عنصر برداشت نکنید. $g$ را به‌صورت حاصل‌ضرب/ترکیبی از مولّدهایی که تصویرشان معلوم است بنویسید، $f$ را از میان عمل عبور دهید، سپس هر مؤلفه را در پیمانهٔ خودش کاهش دهید: $f\big(x_1^{a_1}\cdots x_r^{a_r}\big)=f(x_1)^{a_1}\cdots f(x_r)^{a_r}.$

(ب) یافتن یا شمردن هسته. معادلهٔ $f(g)=e_H$ را مستقیماً حل کنید، یا تصویر (که معمولاً کوچک است) را محاسبه کرده و از $|\ker f|=|G|/|\operatorname{im} f|$ استفاده کنید — یافتن تصویر تقریباً همیشه مسیر سریع‌تری است.

(ج) تشخیص اینکه یک قاعدهٔ داده‌شده یک (خود)ریختی معتبر است یا نه. بررسی کنید که مولّدها را به عناصری با مرتبهٔ سازگار می‌فرستد (مرتبه باید مرتبهٔ مولّد مبدأ را بشمارد)؛ برای خودریختی یک گروه متناهی باید یک مجموعهٔ مولّد را به مجموعهٔ مولّدی با همان مرتبه‌ها بفرستد (به‌طور هم‌ارز، یک دوسویی باشد).

۵. مثال‌های کوچک حل‌شده

مثال ۱ — هسته از طریق تصویر (قضیهٔ یکریختی اول). فرض کنید $f:\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4\to\mathbb{Z}_4$، $f(a,b)=2a+2b\pmod 4$. چون $2a+2b=2(a+b)$، تصویر برابر $\{2t\bmod 4\}=\{0,2\}$ است، از مرتبهٔ $2$. بنابراین $|\ker f|=\frac{|\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_4|}{|\operatorname{im} f|}=\frac{16}{2}=8,$ بدون نیاز به برشمردن $16$ پیش‌تصویر. (به‌طور مستقیم: $\ker f=\{(a,b):a+b\text{ even}\}$، یعنی $4$ زوج هر دو زوج به‌علاوهٔ $4$ زوج هر دو فرد.)

مثال ۲ — مقداردهی از طریق مولّدها. فرض کنید $f$ یک خودریختی از $G=\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4$ باشد با $f(1,0)=(1,0)$ و $f(0,1)=(0,3)$. برای به‌دست‌آوردن $f(1,3)$، در امتداد مولّدها تجزیه کنید و از جمع‌پذیری استفاده کنید: $f(1,3)=f\big((1,0)+3(0,1)\big)=f(1,0)+3\,f(0,1)=(1,0)+3(0,3)=(1,0)+(0,9).$ کاهش مؤلفهٔ دوم به پیمانهٔ $4$ ($9\equiv 1$) و مؤلفهٔ اول به پیمانهٔ $2$، $f(1,3)=(1,1)$ را می‌دهد. این قاعده یک خودریختی راستین است زیرا $(0,3)$ همان مرتبهٔ $4$ را دارد که $(0,1)$ دارد (چون $\gcd(3,4)=1$)، پس مولّدها به مولّدها نگاشته می‌شوند.

۶. شمردن همریختی‌ها

یک همریختی از یک گروه دوری $\mathbb{Z}_m$ با تصویر مولّد $1$ معیّن می‌شود، که می‌تواند هر عنصری باشد که مرتبه‌اش $m$ را بشمارد. به درون یک گروه دوری دیگر، این شمارش تمیز را می‌دهد $\big|\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}_n)\big|=\gcd(m,n),$ زیرا $f(1)=a$ باید در $ma\equiv 0\pmod n$ صدق کند، یعنی $a\in\tfrac{n}{\gcd(m,n)}\mathbb{Z}_n$. برای حاصل‌ضرب‌ها، همریختی‌های از $\mathbb{Z}_{m_1}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{m_r}$ مؤلفه‌به‌مؤلفه انتخاب می‌شوند (یک تصویر مجاز به‌ازای هر مولّد عامل)، پس شمارش‌ها در هم ضرب می‌شوند.

نکتهٔ کنکوری: برای یک همریختی میان گروه‌های متناهی، $|\ker f|\cdot|\operatorname{im} f|=|G|$ — به‌جای فهرست‌کردن پیش‌تصویرها، تصویر (کوچک) را مشخص کرده و تقسیم کنید. و برای مقداردهی $f$، نقطه را از طریق مولّدهایی که تصویرشان را می‌دانید بیان کرده و $f$ را از میان عمل عبور دهید؛ هر مؤلفه را در پیمانهٔ خودش کاهش دهید. اشتباه کلاسیک آن است که $f$ را چنان در نظر بگیرند که گویی مستقل از داده‌های داده‌شده روی مؤلفه‌ها اثر می‌کند، یا فراموش کنند که $\operatorname{ord}(f(x))$ باید $\operatorname{ord}(x)$ را بشمارد (پس هیچ همریختی‌ای نمی‌تواند یک عنصر از مرتبهٔ $2$ را به عنصری از مرتبهٔ $3$ بفرستد).