سوال ۸۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

واقعیت تعیین‌کننده

برای یک همریختی حلقه‌ای $f : R \to S$:

• $\ker f = \{x \in R : f(x) = 0_S\}$ یک ایده‌آل دوطرفهٔ $R$ است؛
• $\operatorname{Im} f = f(R)$ فقط یک زیرحلقهٔ $S$ است (تنها در حالت‌های خاص ایده‌آل $S$ می‌شود)؛
• مرکز $Z(R) = \{z \in R : zr = rz \ \forall r \in R\}$ فقط یک زیرحلقهٔ $R$ است.

پس پاسخ گزینهٔ ۲ است.

۱. هستهٔ $\ker f$ همواره ایده‌آل است — اثبات

زیرگروه جمعی. داریم $f(0) = 0$، پس $0 \in \ker f$. اگر $x, y \in \ker f$ آنگاه $f(x - y) = f(x) - f(y) = 0 - 0 = 0,$ و در نتیجه $x - y \in \ker f$.

خاصیت جذب. فرض کنید $x \in \ker f$ و $r \in R$. آنگاه $f(rx) = f(r)f(x) = f(r)\cdot 0 = 0, \qquad f(xr) = f(x)f(r) = 0 \cdot f(r) = 0,$ پس $rx, xr \in \ker f$. بنابراین $\ker f$ ضرب را از هر دو طرف جذب می‌کند: یعنی یک ایده‌آل دوطرفه است. $\blacksquare$

دقیقاً همین ویژگی است که خارج‌قسمت $R/\ker f$ را به یک حلقه تبدیل می‌کند و قضیهٔ یکریختی اول را می‌دهد: $R/\ker f \;\cong\; \operatorname{Im} f .$

۲. چرا $\operatorname{Im} f$ کافی نیست (رد گزینه‌های ۱ و ۴)

$\operatorname{Im} f$ نسبت به تفریق و ضرب بسته است، پس زیرحلقه‌ای از $S$ است — اما لازم نیست ضرب در عناصر دلخواه $S$ را جذب کند.

مثال نقض. نگاشت شمول $f : \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}$ با $f(n) = n$ را در نظر بگیرید. این یک همریختی حلقه‌ای است و $\operatorname{Im} f = \mathbb{Z}$. اما $\mathbb{Z}$ ایده‌آلی از $\mathbb{Q}$ نیست: چرا که $\tfrac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ و $1 \in \mathbb{Z}$، ولی $\tfrac{1}{2}\cdot 1 = \tfrac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$. (در واقع $\mathbb{Q}$ یک میدان است، پس تنها ایده‌آل‌های آن $\{0\}$ و $\mathbb{Q}$ هستند.)

بنابراین گزینهٔ ۱ نادرست است، و گزینهٔ ۴ — که ادعا می‌کند هر دو ایده‌آل‌اند — نیز نادرست است.

$\operatorname{Im} f$ هنگامی ایده‌آلی از $S$ هست که $f$ پوشا باشد (آنگاه $\operatorname{Im} f = S$)، اما پرسش «همواره» را می‌خواهد.

۳. چرا $Z(R)$ کافی نیست (رد گزینهٔ ۳)

مرکز یک زیرحلقهٔ جابه‌جایی است، ولی در حالت کلی ایده‌آل نیست.

مثال نقض. برای $R = M_2(\mathbb{R})$ داریم $Z(R) = \{\lambda I : \lambda \in \mathbb{R}\}$ (ماتریس‌های اسکالر). بگیرید $z = I \in Z(R)$ و $r = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$. آنگاه $rz = r \notin Z(R)$، پس $Z(R)$ ضرب را جذب نمی‌کند. (همچنین $M_2(\mathbb{R})$ حلقه‌ای ساده است: تنها ایده‌آل‌های دوطرفهٔ آن $0$ و کل حلقه‌اند، و $Z(R)$ هیچ‌کدام نیست.) گذشته از این، $Z(R)$ اصلاً هیچ ارتباطی با $f$ ندارد — نشانه‌ای آشکار از یک گزینهٔ انحرافی.

نتیجه: گزینهٔ ۲.

نکتهٔ کنکوری: این عدم تقارن را به خاطر بسپارید — هسته در دامنه قرار دارد و ایده‌آل است؛ تصویر در هم‌دامنه قرار دارد و تنها یک زیرحلقه است. همین عدم تقارن در گروه‌ها نیز دیده می‌شود (هسته = زیرگروه نرمال، تصویر = صرفاً یک زیرگروه) و در نگاشت‌های خطی (هسته و تصویر هر دو زیرفضا هستند، چون آنجا اساساً شرط «جذب»ی وجود ندارد که نقض شود).