سوال ۸۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

تنظیم مسئله: زیرگروه‌های یک گروه دوری

$G=\mathbb{Z}_{36}$ گروهی دوری از مرتبهٔ $36$ است (با نماد جمعی). قضیهٔ ساختاری مقدماتی گروه‌های دوری می‌گوید: به ازای هر $d\mid n$ گروه $\mathbb{Z}_n$ دقیقاً یک زیرگروه از مرتبهٔ $d$ دارد، و برای هر $a\in\mathbb{Z}_n$،

$\langle a\rangle=\langle \gcd(a,n)\rangle,\qquad |\langle a\rangle|=\frac{n}{\gcd(a,n)}.$

دو زیرگروه.

$|H|=|\langle 3\rangle|=\frac{36}{\gcd(3,36)}=\frac{36}{3}=12,\qquad |K|=|\langle 2\rangle|=\frac{36}{\gcd(2,36)}=\frac{36}{2}=18 .$

به‌طور صریح $H=\{0,3,6,\dots,33\}$ و $K=\{0,2,4,\dots,34\}$.

حاصل‌ضرب $HK$

گروه $G$ آبلی است، پس $HK=KH$ و در نتیجه $HK$ یک زیرگروه است — در نماد جمعی همان مجموع است:

$H+K=\langle 3\rangle+\langle 2\rangle=\langle 3,2\rangle=\langle\gcd(3,2)\rangle=\langle 1\rangle=\mathbb{Z}_{36}.$

(به‌طور مشخص $3-2=1\in H+K$، پس مولد $1$ از پیش در $H+K$ قرار دارد.) بنابراین

$|HK|=36 .$

اشتراک $H\cap K$

در $\mathbb{Z}_n$ اشتراک دو زیرگروه دوری با ک.م.م (lcm) مولدهایشان تولید می‌شود:

$\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=\langle \operatorname{lcm}(a,b)\rangle .$

در واقع $x\in\langle 3\rangle\cap\langle 2\rangle$ اگر و تنها اگر $x$ به پیمانهٔ $36$ هم مضربی از $3$ و هم مضربی از $2$ باشد، یعنی مضربی از $6$. پس

$H\cap K=\langle 6\rangle,\qquad |H\cap K|=\frac{36}{\gcd(6,36)}=\frac{36}{6}=6 .$

وارسی با فرمول حاصل‌ضرب

برای زیرگروه‌های متناهی $H,K\le G$ (فرمول حاصل‌ضرب / شمارش قضیهٔ دوم یکریختی):

$|HK|=\frac{|H|\,|K|}{|H\cap K|}=\frac{12\cdot 18}{6}=\frac{216}{6}=36 .\checkmark$

پس مرتبه‌های $HK$ و $H\cap K$ برابرند با $36$ و $6$ — گزینهٔ ۴.

نکتهٔ کنکوری: در $\mathbb{Z}_n$ همه‌چیز را به زبان بخش‌پذیری ترجمه کنید: $\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=\langle\operatorname{lcm}(a,b)\rangle$ و $\langle a\rangle+\langle b\rangle=\langle\gcd(a,b)\rangle$، با $|\langle d\rangle|=n/\gcd(d,n)$. اینجا $\gcd(2,3)=1$ بی‌درنگ نتیجه می‌دهد $HK=G$، و $\operatorname{lcm}(2,3)=6$ اشتراک را می‌دهد.

تلهٔ رایج: در اینجا $H\cap K\ne\{0\}$ است — یک زیرگروه از مرتبهٔ $12$ و یک زیرگروه از مرتبهٔ $18$ درون گروهی از مرتبهٔ $36$ نمی‌توانند اشتراک بدیهی داشته باشند، زیرا $|H||K|=216>36=|G|$. دقیقاً به همین دلیل گزینه‌های ۱ و ۳ (اشتراک از مرتبهٔ $1$) ناممکن‌اند.