حلقه‌ها، ایده‌آل‌ها، همریختی‌های حلقه‌ای و قضیهٔ باقیماندهٔ چینی

ایده‌آل‌ها، حلقه‌های خارج‌قسمتی، مشخصه و انتقال آن در امتداد پوشا‌ها، قضیهٔ یکریختی اول، رادیکال پوچ‌توان، دوگانگی یکه/مقسوم‌علیه صفر در حلقه‌های متناهی، حلقه‌های موضعی و قضیهٔ باقیماندهٔ چینی، همگی اول‌بودن، ماکسیمال‌بودن، یکه‌ها، پوچ‌توان‌ها، خودتوان‌ها، شمارش همریختی‌ها و هر تجزیهٔ حلقه به ضرب را به هم پیوند می‌دهند.

کارت مفهوم کنکور ارشد ریاضی

اهمیت

۰/۵

یک حلقه $(R,+,\cdot)$ نسبت به $+$ گروهی آبلی است که ضربی شرکت‌پذیر و توزیع‌پذیر دارد؛ در اینجا حلقه‌ها، جز در مواردی که خلاف آن تصریح شود، یکدار ( $1\neq 0$ ) فرض می‌شوند. اگر $ab=ba$ باشد حلقه جابه‌جایی است. یکه عضوی است که وارون دوطرفه دارد؛ یکه‌ها گروه $U(R)$ را تشکیل می‌دهند. عضو $n$ را پوچ‌توان می‌گویند هرگاه $n^{k}=0$ برای برخی $k$ ؛ عضو $e$ را خودتوان می‌گویند هرگاه $e^{2}=e$ ؛ و $a\neq 0$ یک مقسوم‌علیه صفر است هرگاه $ab=0$ برای برخی $b\neq 0$ . حلقهٔ جابه‌جایی یکداری که مقسوم‌علیه صفر ندارد، دامنهٔ صحیح نام دارد؛ دامنه‌ای که همهٔ عضوهای ناصفرش یکه‌اند، یک میدان است. حلقه‌ای که تنها خودتوان‌هایش $0$ و $1$ باشند همبند نامیده می‌شود — هر دامنه همبند است و ضرب $R_1\times R_2$ از حلقه‌های ناصفر هرگز همبند نیست. حلقه‌ای که پوچ‌توان ناصفر ندارد تحویل‌یافته (reduced) نامیده می‌شود؛ هر دامنه تحویل‌یافته است و $\mathbb{Z}_n$ دقیقاً وقتی تحویل‌یافته است که $n$ خالی از مربع باشد.

سه زیرمجموعهٔ شبیه‌به‌هم را از هم جدا نگه دارید: زیرحلقه (بسته نسبت به $-$ و $\cdot$ ، شامل $1$ )، مرکز $Z(R)=\{z\in R:\ zr=rz\ \ \forall r\in R\}$ ، و ایده‌آل. تنها از آخری می‌توان خارج‌قسمت گرفت.

یک زیرحلقه می‌تواند همانی مخصوص و متفاوت خودش را داشته باشد. با قرارداد ضعیف (زیرحلقه فقط لازم است نسبت به $-$ و $\cdot$ بسته باشد)، $S\subseteq R$ می‌تواند همانی $1_S$ داشته باشد که $1_R$ نیست: در $R=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ زیرحلقهٔ $S=\mathbb{Z}\times\{0\}$ در $1_S=(1,0)\neq(1,1)=1_R$ صدق می‌کند. تنها چیزی که الزام می‌شود این است که $1_S$ یک خودتوان از $R$ باشد که روی $S$ نقش همانی را بازی می‌کند — دقیقاً همان پدیده‌ای که در ادامه برای $f(1_R)$ تحلیل می‌شود. پس « $S\subseteq R$ حلقه‌هایی با همانی‌اند» هرگز به شما اجازهٔ نتیجه‌گیری $1_S=1_R$ نمی‌دهد؛ تنها قرارداد زیرحلقهٔ یکدار ( $1_R\in S$ ) چنین اجازه‌ای می‌دهد.

مشخصهٔ یک حلقه

$\operatorname{char}(R)$ کوچک‌ترین عدد صحیح $k\ge 1$ است که برای هر $x\in R$ داشته باشیم $k\cdot x=0$ ، و اگر چنین $k$ وجود نداشته باشد $\operatorname{char}(R)=0$ . برای حلقهٔ یکدار، این همان مرتبهٔ جمعی $1_R$ است؛ به‌طور هم‌ارز، مولد نامنفی هستهٔ یگانه نگاشت حلقه‌ای $\chi:\mathbb{Z}\to R$ ، $k\mapsto k\cdot 1_R$ . آنگاه قضیهٔ یکریختی اول زیرحلقهٔ اول را چنین می‌شناساند:

$\mathbb{Z}/\operatorname{char}(R)\;\cong\;\chi(\mathbb{Z})\subseteq R .$

ده واقعیت، که هر یک گزینه‌ای انحرافی در کنکور به‌شمار می‌رود:

گزاره	وضعیت	چرا / مثال نقض
$\operatorname{char}(R\times S)=\operatorname{lcm}(m,n)$	درست	$k\cdot(r,s)=(kr,ks)=0$ اگر و تنها اگر $m\mid k$ و $n\mid k$
$\operatorname{char}(R\times S)=mn$	در حالت کلی نادرست	$\operatorname{char}(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4)=4\neq 8$ ؛ تساوی تنها وقتی $\gcd(m,n)=1$
$\operatorname{char}(T)\mid\operatorname{char}(R)$ برای زیرحلقهٔ $T$	درست	رابطهٔ $n\cdot t=0$ به ارث می‌رسد
$\operatorname{char}(T)=\operatorname{char}(R)$ برای هر زیرحلقه	نادرست	$T=\{0,2,4\}\cong\mathbb{Z}_3$ درون $\mathbb{Z}_6$ مشخصهٔ $3\neq 6$ دارد؛ تساوی تنها وقتی $1_R\in T$ تضمین می‌شود
متناهی $\Rightarrow\operatorname{char}>0$	درست	لاگرانژ روی $(R,+)$ می‌دهد $\lvert R\rvert\cdot x=0$
نامتناهی $\Rightarrow\operatorname{char}=0$	نادرست	$\mathbb{F}_2[x]$ ، $\mathbb{F}_p(x)$ ، $\overline{\mathbb{F}}_p$ ، $\prod_{i\ge 1}\mathbb{Z}_2$ نامتناهی و با مشخصهٔ $p$ هستند
$\operatorname{char}$ یک دامنه، $0$ یا اول است	درست	اگر $\operatorname{char}=mn$ آنگاه $(m\cdot 1)(n\cdot 1)=0$ ، پس یکی از عامل‌ها پیشاپیش $1$ را صفر می‌کند
$\operatorname{char}(R/I)\mid\operatorname{char}(R)$	درست	$n\cdot r=0$ به هم‌دسته‌ها منتقل می‌شود — مشخصهٔ خارج‌قسمت فقط می‌تواند کوچک‌تر شود
$\operatorname{char}(S)\mid\operatorname{char}(R)$ برای $f:R\to S$ پوشا	درست	هر $s$ برابر $f(r)$ ی است؛ قضیهٔ انتقال در ادامه
$\operatorname{char}(S)\mid\operatorname{char}(R)$ برای $f:R\to S$ یک‌به‌یک	نادرست	$\mathbb{Z}_2\to\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4$ ، $x\mapsto(x,0)$ : اینجا $4\nmid 2$

در مشخصهٔ $p$ ، نگاشت فروبنیوس $x\mapsto x^{p}$ روی هر حلقهٔ جابه‌جایی یک همریختی حلقه‌ای است («رؤیای دانشجوی سال اولی» $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$ ، زیرا برای $0<i<p$ داریم $p\mid\binom{p}{i}$ )، و روی یک دامنه یک‌به‌یک است. همچنین توجه کنید که لازم نیست $\operatorname{char}(R/I)$ با $\operatorname{char}(R)$ برابر باشد: $\operatorname{char}(\mathbb{Z})=0$ در حالی که $\operatorname{char}(\mathbb{Z}/n)=n$ .

مشخصه به‌عنوان ایده‌آل پوچ‌ساز — و چگونگی انتقال آن

تمیزترین تعریف اصلاً به همانی نیازی ندارد. برای هر حلقهٔ $A$ قرار دهید

$I(A)=\{k\in\mathbb{Z}:\ k\cdot a=0\ \text{ for every } a\in A\}.$

$I(A)$ نسبت به جمع و نسبت به ضرب در اعداد صحیح بسته است، پس ایده‌آلی از $\mathbb{Z}$ است، در نتیجه $I(A)=m\mathbb{Z}$ برای $m\ge 0$ یکتا، و طبق تعریف $\operatorname{char}(A)=m$ . نتیجه‌ای که در هر تمرینی از این دست به کار می‌آید، معیار بخش‌پذیری است:

$k\cdot a=0\ \ \forall a\in A\quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{char}(A)\mid k,$

پس نشان دادن یک عدد صحیح که کل حلقه را صفر می‌کند هرگز مشخصه را نمی‌دهد — مضربی از آن را می‌دهد.

قضیه (پوشا‌ها مشخصه را به جلو می‌برند). اگر $f:R\to S$ یک همریختی حلقه‌ای پوشا باشد و $\operatorname{char}(R)=n\neq 0$ ، آنگاه $\operatorname{char}(S)\neq 0$ و $\operatorname{char}(S)\mid\operatorname{char}(R)$ .

اثبات. فرض کنید $s\in S$ و $r\in R$ را با $f(r)=s$ انتخاب کنید (اینجاست که پوشایی به کار می‌آید). جمع‌پذیری می‌دهد $n\cdot s=n\cdot f(r)=f(n\cdot r)=f(0)=0$ . پس $n\in I(S)$ ، در نتیجه $I(S)\neq 0$ ، یعنی $\operatorname{char}(S)\neq 0$ ، و معیار بخش‌پذیری نتیجه می‌دهد $\operatorname{char}(S)\mid n$ . $\blacksquare$

به‌طور هم‌ارز $S\cong R/\ker f$ و $\operatorname{char}(R/I)\mid\operatorname{char}(R)$ — آینهٔ حلقه‌ای این واقعیت که $\lvert G/N\rvert$ عدد $\lvert G\rvert$ را می‌شمارد. کنکور چهار خانهٔ یک جدول $2\times 2$ را مطرح می‌کند (کدام حلقه مشخصهٔ ناصفر دارد، و کدام کدام را می‌شمارد):

ادعا دربارهٔ پوشای $f:R\twoheadrightarrow S$	حکم	عامل ابطال
$\operatorname{char}(R)\neq0\Rightarrow\operatorname{char}(S)\neq0$ و $\operatorname{char}(S)\mid\operatorname{char}(R)$	درست	همان قضیه
$\operatorname{char}(R)\neq0\Rightarrow\operatorname{char}(R)\mid\operatorname{char}(S)$	نادرست	$\mathbb{Z}_4\twoheadrightarrow\mathbb{Z}_2$ : $4\nmid 2$
$\operatorname{char}(S)\neq0\Rightarrow\operatorname{char}(R)\neq0$	نادرست	$\mathbb{Z}\twoheadrightarrow\mathbb{Z}_2$ : مبدأ مشخصهٔ $0$ دارد
$\operatorname{char}(S)\neq0\Rightarrow\operatorname{char}(S)\mid\operatorname{char}(R)$ (بدون فرض روی $R$ )	نادرست	همان نگاشت: $\operatorname{char}(R)=0$ هیچ اطلاع بخش‌پذیری نمی‌دهد
حذف پوشایی	هیچ‌چیز باقی نمی‌ماند	$\mathbb{Z}_2\hookrightarrow\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4$ که در آن $\operatorname{char}$ از $2\mapsto 4$ می‌رود

ایده‌آل‌ها و حلقه‌های خارج‌قسمتی

ایده‌آل (دوطرفهٔ) $I\trianglelefteq R$ زیرگروهی جمعی است که ضرب را جذب می‌کند: $RI\subseteq I$ و $IR\subseteq I$ . ایده‌آل‌ها دقیقاً همان هسته‌های همریختی‌های حلقه‌ای‌اند، و همان چیزی‌اند که می‌توان از آن‌ها خارج‌قسمت گرفت: $R/I$ ساختار حلقه‌ای را از راه $(a+I)(b+I)=ab+I$ به ارث می‌برد.

جذب، و نه صرفاً بستگی، تمام محتوای تعریف است — و دقیقاً همان چیزی است که کنکور با پرسش «کدام‌یک همواره ایده‌آل است؟» می‌سنجد:

مجموعهٔ نامزد	همواره زیرحلقه؟	همواره ایده‌آل؟	مثال نقض
$\ker f\subseteq R$	بله	بله	—
$\operatorname{Im} f\subseteq S$	بله	خیر	$\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ : $\tfrac{1}{2}\cdot 1\notin\mathbb{Z}$
$Z(R)\subseteq R$	بله	خیر	$R=M_2(\mathbb{R})$ ، $Z(R)=\mathbb{R}I_2$ ، ولی $E_{12}I_2=E_{12}\notin Z(R)$
هر زیرحلقهٔ $A\subseteq R$	بله	خیر	$\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}$
$\mathcal{N}(R)$ ، پوچ‌توان‌ها، برای $R$ جابه‌جایی	بله (بدون $1$ )	بله	رادیکال پوچ‌توان؛ بدون جابه‌جایی حتی نسبت به $+$ بسته نیست: $E_{12}+E_{21}$ یکه‌ای در $M_2(k)$ است
مقسوم‌علیه‌های صفر به‌همراه $0$	خیر	خیر	در $\mathbb{Z}_6$ : $2,3$ مقسوم‌علیه صفرند ولی $2+3=5\in U(\mathbb{Z}_6)$
یکه‌ها $U(R)$	خیر	خیر	$0\notin U(R)$ ، و ایده‌آل سره اصلاً هیچ یکه‌ای ندارد

$\operatorname{Im} f$ دقیقاً وقتی ایده‌آل است که $f$ پوشا باشد (آنگاه با $S$ برابر است)؛ $Z(R)$ عملاً هرگز ایده‌آل نیست، چون $M_n(k)$ ساده است — تنها ایده‌آل‌های دوطرفه‌اش $0$ و $M_n(k)$ هستند — در حالی که $Z(M_n(k))=k\cdot I_n$ هیچ‌یک از این دو نیست. در واقع ایده‌آلی که شامل $1$ باشد کل حلقه است، پس اگر $Z(R)$ ایده‌آل بود آنگاه $R=Z(R)$ و $R$ جابه‌جایی می‌شد. همین عدم‌تقارن در گروه‌ها هم دیده می‌شود (هسته = زیرگروه نرمال، تصویر = فقط یک زیرگروه)؛ برای نگاشت‌های خطی این تفاوت از بین می‌رود، چون زیرفضا شرط جذبی ندارد که نقض شود.

سه عمل روی ایده‌آل‌ها پیوسته تکرار می‌شوند:

$I+J=\{a+b:\ a\in I,\ b\in J\},\qquad IJ=\Big\{\sum_{i} a_ib_i\Big\},\qquad I\cap J,\qquad IJ\subseteq I\cap J\subseteq I+J .$

در $\mathbb{Z}$ این‌ها حساب محض‌اند: $(m)+(n)=(\gcd(m,n))$ ، $(m)\cap(n)=(\operatorname{lcm}(m,n))$ ، $(m)(n)=(mn)$ .

اول و ماکسیمال — آن‌ها را از روی خارج‌قسمت بخوانید

برای حلقهٔ جابه‌جایی یکدار، دو ردهٔ مهم ایده‌آل‌ها از روی خارج‌قسمت خوانده می‌شوند:

$P\text{ prime}\iff R/P\text{ is an integral domain},\qquad M\text{ maximal}\iff R/M\text{ is a field}.$

به‌طور هم‌ارز، $P$ اول است اگر و تنها اگر از $ab\in P$ نتیجه شود $a\in P$ یا $b\in P$ . چون هر میدان یک دامنه است، ماکسیمال $\Rightarrow$ اول، و هرگز عکس آن. این آزمون خارج‌قسمتی سریع‌ترین ابزار کنکوری است: خارج‌قسمت را بسازید، سپس بپرسید «دامنه است؟» و «میدان است؟». دو نکتهٔ ساختاری افزوده: طبق لم زرن هر ایده‌آل سرهٔ یک حلقهٔ یکدار درون ایده‌آلی ماکسیمال قرار می‌گیرد (پس ایده‌آل‌های ماکسیمال همیشه وجود دارند)، و در حلقهٔ جابه‌جایی متناهی، اول $\iff$ ماکسیمال، زیرا دامنهٔ صحیح متناهی یک میدان است.

یک حالت خاص مفید: حلقهٔ $R$ (جابه‌جایی و یکدار) میدان است $\iff$ تنها ایده‌آل‌هایش $(0)$ و $R$ باشند $\iff$ $(0)$ ماکسیمال باشد؛ و $R$ دامنه است $\iff$ $(0)$ اول باشد.

خاصیت در برابر خارج‌قسمت — جدول مرجع

ایده‌آل $I$	خارج‌قسمت $R/I$	مثال
اول، غیرماکسیمال	دامنهٔ صحیح، غیرمیدان	$\langle x\rangle\trianglelefteq\mathbb{Z}[x]$ ، خارج‌قسمت $\cong\mathbb{Z}$
اول، غیرماکسیمال	دامنهٔ صحیح، غیرمیدان	$\langle 2\rangle\trianglelefteq\mathbb{Z}[x]$ ، خارج‌قسمت $\cong\mathbb{F}_2[x]$
ماکسیمال (پس اول)	میدان	$\langle 2,x\rangle\trianglelefteq\mathbb{Z}[x]$ ، خارج‌قسمت $\cong\mathbb{F}_2$
غیراول	مقسوم‌علیه صفر دارد	$\langle 4\rangle\trianglelefteq\mathbb{Z}$ ، خارج‌قسمت $\mathbb{Z}/4$

در $\mathbb{Z}[x]$ (با بُعد کرول $2$ ) یک ایده‌آل ماکسیمال به دو لایه مولد نیاز دارد، $\langle p,\,f(x)\rangle$ که در آن $f$ به‌پیمانهٔ $p$ تحویل‌ناپذیر است؛ یک ایده‌آل اصلی تنها مانند $\langle 2\rangle$ یا $\langle x\rangle$ می‌تواند اول باشد ولی هرگز ماکسیمال نیست.

همریختی‌های حلقه‌ای و قضیهٔ یکریختی اول

همریختی حلقه‌ای $f:R\to S$ عمل‌های $+,\cdot$ را حفظ می‌کند (و برای نگاشت‌های یکدار، $1$ را نیز). هستهٔ آن $\ker f=\{x:f(x)=0\}$ ایده‌آلی از $R$ است، تصویر آن $f(R)$ زیرحلقه‌ای از $S$ است، و

$R/\ker f\;\cong\;f(R).$

اثبات ایده‌آل‌بودن هسته دو خطی است و ارزش حفظ‌کردن دارد: $f(x-y)=f(x)-f(y)=0$ زیرگروه جمعی را می‌دهد، و $f(rx)=f(r)f(x)=f(r)\cdot 0=0$ همراه با $f(xr)=0$ جذب دوطرفه را می‌دهد.

دو نتیجهٔ فوری، بیشتر پرسش‌های چندگزینه‌ای را می‌سازند:

هستهٔ بدیهی $\iff$ یک‌به‌یک. اگر $R$ یک میدان باشد تنها ایده‌آل‌هایش $\{0\}$ و $R$ هستند؛ نگاشت ناصفر نمی‌تواند همه‌چیز را صفر کند، پس $\ker f=\{0\}$ و $f$ یک‌به‌یک است.
جابه‌جایی در امتداد تصویر منتقل می‌شود. از $f(ab)=f(a)f(b)$ : اگر $f$ یک‌به‌یک و $S$ جابه‌جایی باشد آنگاه $R$ نیز جابه‌جایی است؛ اگر $f$ پوشا و $R$ جابه‌جایی باشد آنگاه $S$ جابه‌جایی است. اما هم‌دامنهٔ میدانی هیچ محدودیتی بر پوشایی ایجاد نمی‌کند — تصویر فقط یک زیرحلقه است، مثلاً شمول $\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{R}$ نگاشتی ناصفر به درون یک میدان است که پوشا نیست.

به‌طور کلی‌تر، یک پوشا ساختار را به جلو منتقل می‌کند — جابه‌جایی‌بودن، مشخصهٔ مثبت (و مقسوم‌علیه‌هایش)، میدان‌بودن و نوتری‌بودن همگی از $R$ به $S=R/\ker f$ می‌روند — در حالی که یک یک‌به‌یک هیچ‌چیز را به جلو منتقل نمی‌کند و تنها خواصی (دامنه‌بودن، تحویل‌یافته‌بودن) را از $S$ به $R$ پس می‌کشد.

هشدار قراردادی. بسیاری از کتاب‌های درسی (و کنکور) $f$ را همریختی حلقه‌ای می‌نامند وقتی صرفاً $+$ و $\cdot$ را حفظ کند؛ برخی دیگر $f(1_R)=1_S$ (یکدار) را می‌طلبند. نگاشت صفر در قرارداد اول همریختی است و در دومی نیست — و این شمارش همریختی‌ها را دقیقاً یک واحد جابه‌جا می‌کند.

$f(1_R)$ ناگزیر چیست

حتی در قرارداد ضعیف، یک $f:R\to S$ ناصفر میان حلقه‌های یکدار، $e:=f(1_R)$ را تقریباً به‌طور کامل مشخص می‌کند:

$e$ خودتوان است: $e^{2}=f(1_R)f(1_R)=f(1_R\cdot 1_R)=f(1_R)=e$ .
$e\neq 0$ : در غیر این صورت برای هر $r$ داریم $f(r)=f(r\cdot 1_R)=f(r)e=0$ ، یعنی $f\equiv 0$ .
$e$ همانیِ زیرحلقهٔ $\operatorname{im}f$ است: $e\,f(r)=f(1_R\,r)=f(r)$ .

پس هر همریختی ناصفر روی تصویر خودش یکدار است؛ اینکه آیا $e=1_S$ است تنها پرسشی دربارهٔ هم‌دامنه است. اگر $S$ همبند باشد (خودتوانی جز $0,1_S$ نداشته باشد) — به‌ویژه اگر $S$ یک دامنهٔ صحیح باشد، که در آن $e(e-1_S)=0$ و $e\neq 0$ ایجاب می‌کنند $e=1_S$ — آنگاه $f(1_R)=1_S$ به‌رایگان به دست می‌آید. اگر $S$ خودتوانی ناتباه داشته باشد، حکم واقعاً نقض می‌شود: $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ ، $n\mapsto(n,0)$ ، جمعی، ضربی و ناصفر است، ولی $f(1)=(1,0)\neq(1,1)=1_S$ . (این همان $(1,0)$ ی است که $\mathbb{Z}\times\{0\}$ را به زیرحلقه‌ای با همانی بیگانه تبدیل می‌کند.)

کنکور با جابه‌جا کردن $R$ و $S$ در چنین گزاره‌هایی یک تیپ کامل سؤال می‌سازد. احکام چنین‌اند:

فرض روی $f:R\to S$ ناصفر	نتیجهٔ ادعاشده	حکم
$S$ دامنه است	$f(1_R)=1_S$	درست (خودتوان $+$ نبود مقسوم‌علیه صفر)
$R$ دامنه است	$f(1_R)=1_S$	نادرست: $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ ، $n\mapsto(n,0)$
$R$ دامنه است	$S$ دامنه است	نادرست: همان نگاشت؛ لازم نیست $f$ پوشا باشد
$S$ دامنه است	$R$ دامنه است	نادرست: تصویر $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$
$S$ دامنه است	$\ker f$ ایده‌آلی اول است	درست: $R/\ker f\hookrightarrow S$ مقسوم‌علیه صفر ندارد
$R$ میدان است	$f$ یک‌به‌یک است	درست ( $\ker f$ ایده‌آلی سره از یک میدان است)
$f$ پوشا، $R$ جابه‌جایی	$S$ جابه‌جایی	درست
$f$ پوشا، $\operatorname{char}R=n>0$	$\operatorname{char}S\mid n$	درست (قضیهٔ انتقال)

تنها چیزی کنترل می‌شود که از $R/\ker f\cong\operatorname{im}f$ عبور کند: فرض دامنه‌بودن هم‌دامنه ایجاب می‌کند تصویر (و در نتیجه خارج‌قسمت) دامنه باشد و چیزی دربارهٔ خودِ $R$ نمی‌گوید، در حالی که فرض دامنه‌بودن مبدأ چیزی دربارهٔ $S$ بیرون از تصویر نمی‌گوید.

همریختی ارزیابی اسب کاری شناسایی خارج‌قسمت‌هاست: برای $R$ جابه‌جایی و $a\in R$ ، نگاشت $\operatorname{ev}_a:R[x]\to R$ ، $g\mapsto g(a)$ ، پوشا با هستهٔ $\langle x-a\rangle$ است، پس $R[x]/\langle x-a\rangle\cong R$ . به‌طور کلی‌تر $k[x]/\langle p(x)\rangle\cong k(\alpha)$ برای $p$ تحویل‌ناپذیر با ریشهٔ $\alpha$ ؛ برای نمونه $\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}+1\rangle\cong\mathbb{C}$ از راه $\bar x\mapsto i$ .

شمارش همریختی‌های حلقه‌ای: روش خودتوان‌ها

یک همریختی، خودتوان‌ها را به خودتوان‌ها و خودتوان‌های متعامد ( $ef=0$ ) را به متعامدها می‌برد. همین قید است که پرسش «چند همریختی حلقه‌ای؟» را به پرسشی متناهی بدل می‌کند.

دستور کار.

مولدهای جمعی مبدأ را بگیرید ( $1$ برای $\mathbb{Z}$ و $\mathbb{Z}/n$ ؛ پایهٔ استاندارد $e_1,\dots,e_k$ برای $\mathbb{Z}^{k}$ ) — یک نگاشت جمعی با تصویر آن‌ها تعیین می‌شود.
همهٔ روابط ضربی میان مولدها را اعمال کنید ( $e_i^{2}=e_i$ ، $e_ie_j=0$ ، $n\cdot 1=0$ ، …).
تصویرها را درون هدف حل کنید، سپس بررسی کنید هر نامزد باقی‌مانده واقعاً ضربی باشد.

حالت اصلی — $\varphi:\mathbb{Z}^{k}\to D$ با $D$ دامنهٔ صحیح. قرار دهید $a_i=\varphi(e_i)$ . آنگاه $a_i^{2}=a_i$ ، پس $a_i\in\{0,1\}$ (یک دامنه فقط خودتوان‌های بدیهی دارد)، و $a_ia_j=\varphi(e_ie_j)=\varphi(0)=0$ برای $i\neq j$ اجازه می‌دهد حداکثر یکی از $a_i$ برابر $1$ باشد. پس

$\#\operatorname{Hom}_{\mathrm{ring}}\!\left(\mathbb{Z}^{k},D\right)=k+1,$

یعنی نگاشت صفر به‌علاوهٔ $k$ تصویر مختصاتی $\pi_i(m_1,\dots,m_k)=m_i$ — که اگر نگاشت‌های یکدار خواسته شوند به $k$ کاهش می‌یابد. برای $k=2$ و $D=\mathbb{Z}$ این سه نگاشت $0,\pi_1,\pi_2$ هستند، با هسته‌های $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ ، $0\times\mathbb{Z}$ ، $\mathbb{Z}\times 0$ ؛ آنگاه قضیهٔ یکریختی اول می‌گوید $(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})/(0\times\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$ .

شمارش‌های همسایه با همین روش: همریختی‌های $\mathbb{Z}\to S$ متناظر با خودتوان‌های $S$ هستند (دقیقاً یک نگاشت یکدار، $1\mapsto 1$ )؛ همریختی‌های $\mathbb{Z}/n\to S$ متناظر با خودتوان‌های $a\in S$ با $na=0$ هستند؛ و نگاشت یکدار ناصفر $\mathbb{Z}/m\to\mathbb{Z}/n$ وجود دارد اگر و تنها اگر $n\mid m$ .

تلهٔ رایج: یک همریختی جمعی $\mathbb{Z}^{2}\to\mathbb{Z}$ بی‌نهایت انتخاب دارد، به ازای هر زوج $(a,b)$ یکی — این ضربی‌بودن است که شمارش را به $3$ فرو می‌کاهد. و اگر مسئله بر $\varphi(1,1)=1$ اصرار کند پاسخ $2$ می‌شود. پیش از انتخاب میان گزینه‌های « $2$ »، « $3$ » و «بی‌نهایت»، قرارداد را تعیین کنید.

ضرب‌ها، خودتوان‌ها و قضیهٔ باقیماندهٔ چینی

در ضرب $R_1\times\cdots\times R_k$ همه‌چیز مؤلفه‌به‌مؤلفه است، و عضوهای $e_i=(0,\dots,1,\dots,0)$ خودتوان‌های متعامد با $e_1+\cdots+e_k=1$ هستند. قواعد انتقالی که باید کاملاً بلد باشید:

$U(R\times S)\cong U(R)\times U(S),\qquad Z(R\times S)=Z(R)\times Z(S),\qquad \operatorname{char}(R\times S)=\operatorname{lcm}\big(\operatorname{char}R,\operatorname{char}S\big),$

و ضرب دو حلقهٔ ناصفر هرگز دامنه نیست (پس هرگز میدان هم نیست)، زیرا $(1,0)(0,1)=(0,0)$ . رادیکال پوچ‌توان نیز مؤلفه‌به‌مؤلفه است، $\mathcal{N}(R\times S)=\mathcal{N}(R)\times\mathcal{N}(S)$ (بخش بعد)، در حالی که مقسوم‌علیه‌های صفر چنین نیستند: $(1,0)$ مقسوم‌علیه صفر است هرچند هیچ‌یک از مختصات‌هایش نیست.

ایده‌آل‌های هم‌ماکسیمال. $I$ و $J$ هم‌ماکسیمال (comaximal) اند هرگاه $I+J=R$ ، یعنی $a+b=1$ برای برخی $a\in I,\ b\in J$ .

لم ۱ — ایده‌آل‌های ماکسیمال متمایز هم‌ماکسیمال‌اند. اگر $M_1\neq M_2$ ماکسیمال باشند، آنگاه $M_1+M_2$ ایده‌آلی شامل $M_1$ است، و آن هم اکیداً: در غیر این صورت $M_2\subseteq M_1\subsetneq R$ ، و ماکسیمال‌بودن $M_2$ ایجاب می‌کند $M_1=M_2$ . سپس ماکسیمال‌بودن $M_1$ می‌دهد $M_1+M_2=R$ .

لم ۲ — برای ایده‌آل‌های هم‌ماکسیمال، ضرب $=$ اشتراک. در حلقهٔ جابه‌جایی همواره $IJ\subseteq I\cap J$ ؛ اگر $1=a+b$ با $a\in I,\ b\in J$ و $x\in I\cap J$ ، آنگاه $x=xa+xb\in JI+IJ=IJ$ . پس $I+J=R\Rightarrow IJ=I\cap J$ . (از جابه‌جایی استفاده شد؛ برای ایده‌آل‌های دوطرفه در حلقهٔ ناجابه‌جایی تنها $I\cap J=IJ+JI$ به دست می‌آید.)

قضیهٔ باقیماندهٔ چینی. فرض کنید $I_1,\dots,I_k$ ایده‌آل‌های دوبه‌دو هم‌ماکسیمال از حلقهٔ جابه‌جایی یکدار $R$ باشند. آنگاه $\varphi(r)=(r+I_1,\dots,r+I_k)$ یک همریختی حلقه‌ای پوشا $R\to\prod_i R/I_i$ با $\ker\varphi=\bigcap_i I_i=I_1I_2\cdots I_k$ است، پس

$\frac{R}{I_1I_2\cdots I_k}\;\cong\;\frac{R}{I_1}\times\cdots\times\frac{R}{I_k}.$

پوشایی برای $k=2$ صریح است: با داشتن هدف‌های $u,v$ ، قرار دهید $r=ub+va$ که در آن $a+b=1$ ، $a\in I_1$ ، $b\in I_2$ ؛ آنگاه $r\equiv u\ (\mathrm{mod}\ I_1)$ و $r\equiv v\ (\mathrm{mod}\ I_2)$ . اگر هم‌ماکسیمالی را حذف کنید، نگاشت همچنان هستهٔ $\bigcap_i I_i$ دارد ولی لازم نیست پوشا باشد، پس یکریختی از بین می‌رود.

چهار قالبی که CRT در آن‌ها پنهان می‌شود

بستر	شرط هم‌ماکسیمالی	یکریختی حاصل
$\mathbb{Z}$ ، $I=(m)$ ، $J=(n)$	$\gcd(m,n)=1$	$\mathbb{Z}/mn\cong\mathbb{Z}/m\times\mathbb{Z}/n$
$\mathbb{Z}$ ، $n=\prod_i p_i^{a_i}$	اعداد اول متمایز	$\mathbb{Z}/n\cong\prod_i \mathbb{Z}/p_i^{a_i}$ ، که از آن $\varphi(n)=\prod_i\varphi(p_i^{a_i})$
$k[x]$ ، $f=\prod_i p_i^{e_i}$	$p_i$ تحویل‌ناپذیرهای متمایز روی $k$	$k[x]/\langle f\rangle\cong\prod_i k[x]/\langle p_i^{e_i}\rangle$
هر $R$ ، ماکسیمال‌های متمایز $M_1,M_2$	خودکار (لم ۱)	$R/M_1M_2\cong R/M_1\times R/M_2$ ، ضربی از دو میدان

سطر آخر نسخهٔ انتزاعی‌ای است که کنکور عاشق آن است، و گزینه‌های انحرافی‌اش همیشه همان جایگزینی‌ها هستند: $R/(M_1+M_2)$ حلقهٔ صفر است (چون $M_1+M_2=R$ )، « $R/M_1\cap R/M_2$ » اصلاً تعریف‌شده نیست — دو خارج‌قسمت درون یک حلقهٔ مشترک قرار ندارند، پس طرف راست باید یک ضرب مستقیم باشد — و $R/M_1\cong R/M_2$ در حالت کلی نادرست است ( $R=\mathbb{Z}$ ، $M_1=(2)$ ، $M_2=(3)$ می‌دهند $\mathbb{F}_2\not\cong\mathbb{F}_3$ ).

مثال کوچک حل‌شده — تجزیهٔ $k[x]/\langle f\rangle$

$\mathbb{R}[x]/\langle x^{4}-1\rangle$ را به‌عنوان نمونهٔ استاندارد این دستور کار در نظر بگیرید.

$f$ را روی میدان پایه به تحویل‌ناپذیرها تجزیه کنید. $x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)=(x-1)(x+1)(x^{2}+1)$ ، و $x^{2}+1$ روی $\mathbb{R}$ تحویل‌ناپذیر است (ریشه‌هایش $\pm i$ حقیقی نیستند).
خالی‌از‌مربع بودن را بررسی کنید، یعنی اینکه عامل‌ها دوبه‌دو نسبت‌به‌هم اول باشند: $\gcd(f,f')=\gcd(x^{4}-1,\,4x^{3})=1$ . عامل‌های تحویل‌ناپذیر متمایز ایده‌آل‌های هم‌ماکسیمال تولید می‌کنند، پس CRT برقرار است.
CRT را اعمال کنید و هر عامل را با ارزیابی بشناسید. $\mathbb{R}[x]/\langle x-1\rangle\cong\mathbb{R}$ ، $\mathbb{R}[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb{R}$ ، $\mathbb{R}[x]/\langle x^{2}+1\rangle\cong\mathbb{C}$ ، که می‌دهد $\frac{\mathbb{R}[x]}{\langle x^{4}-1\rangle}\;\cong\;\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{C}.$
بُعد را وارسی کنید. $\dim_{k}k[x]/\langle f\rangle=\deg f$ (با پایهٔ $1,\bar x,\dots,\bar x^{\deg f-1}$ )، و به‌راستی $1+1+2=4$ .

میدان پایه را عوض کنید و پاسخ همراه با تجزیه عوض می‌شود: روی $\mathbb{C}$ همان $f$ به چهار عامل خطی متمایز تجزیه می‌شود و $\mathbb{C}^{4}$ می‌دهد؛ روی $\mathbb{Q}$ به $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}(i)$ می‌رسیم؛ روی $\mathbb{F}_2$ ، $x^{4}-1=(x+1)^{4}$ خالی از مربع نیست، CRT چیزی نمی‌دهد، و $\mathbb{F}_2[x]/\langle (x+1)^{4}\rangle$ حلقه‌ای موضعی با پوچ‌توان است.

ناورداهایی که گزینه‌های غلط را فوراً حذف می‌کنند

ناوردا	برای $k[x]/\langle f\rangle$	برای ضرب $\prod_{i=1}^{k}R_i$
$\dim_k$	$\deg f$	مجموع بُعدهای عامل‌ها
خودتوان‌ها	$2^{r}$ ، که $r$ تعداد عامل‌های تحویل‌ناپذیر متمایز است	$2^{k}$ وقتی هر $R_i$ موضعی باشد (مثلاً میدان)
پوچ‌توان‌ها	پوچ‌توان ناصفر وجود دارد اگر و تنها اگر $f$ خالی از مربع نباشد	وجود دارد اگر و تنها اگر عاملی داشته باشد؛ تعدادشان ضرب تعداد عامل‌هاست
میدان است؟	اگر و تنها اگر $f$ تحویل‌ناپذیر باشد	هرگز، به‌محض $k\ge 2$
یکه‌ها	کلاس‌های $\bar g$ با $\gcd(g,f)=1$	$U(R_1)\times\cdots\times U(R_k)$
مشخصه	$\operatorname{char}k$	$\operatorname{lcm}$ از $\operatorname{char}R_i$ ها

تجزیهٔ موضعی. هر حلقهٔ جابه‌جایی یکدار متناهی، ضربی متناهی از حلقه‌های موضعی است (هرکدام با یک ایده‌آل ماکسیمال)؛ برای نمونه $\mathbb{Z}/12\cong\mathbb{Z}/4\times\mathbb{Z}/3$ ، که در آن $\mathbb{Z}/4$ موضعی با ایده‌آل ماکسیمال $(2)$ و پوچ‌توان $\bar 2$ است، در حالی که $\mathbb{Z}/3$ یک میدان است. چنین حلقه‌ای دقیقاً وقتی ضربی از میدان‌ها است که پوچ‌توان ناصفر نداشته باشد — آینهٔ حلقه‌ای «خالی از مربع».

پوچ‌توان‌ها، رادیکال پوچ‌توان و شمارش در $\mathbb{Z}_n$

برای حلقهٔ جابه‌جایی، پوچ‌توان‌ها یک ایده‌آل می‌سازند، رادیکال پوچ‌توان

$\mathcal{N}(R)=\{x\in R:\ x^{k}=0\ \text{for some } k\ge 1\}=\bigcap_{P\ \text{prime}}P .$

چرا ایده‌آل است: اگر $x^{m}=y^{n}=0$ آنگاه در $(x+y)^{m+n-1}$ هر جمله شامل $x^{i}y^{m+n-1-i}$ با $i\ge m$ یا $m+n-1-i\ge n$ است، پس صفر می‌شود؛ و $(rx)^{m}=r^{m}x^{m}=0$ . جابه‌جایی ضروری است: در $M_2(k)$ پوچ‌توان‌های $E_{12}$ و $E_{21}$ مجموعشان یک یکه است. خارج‌قسمت $R/\mathcal{N}(R)$ همواره تحویل‌یافته است.

سه واقعیت دربارهٔ جایگاه پوچ‌توان‌ها:

پوچ‌توان ناصفر همواره یک مقسوم‌علیه صفر است (از $x^{k}=0$ و $x^{k-1}\neq0$ داریم $x\cdot x^{k-1}=0$ ) — اما بیشتر مقسوم‌علیه‌های صفر پوچ‌توان نیستند، مثلاً $8\in\mathbb{Z}_{24}$ یا $(1,0)$ در هر ضربی؛
پوچ‌توان در حلقهٔ ناصفر هرگز یکه نیست (از $x^{k}=0$ و وارون‌پذیری $x$ نتیجه می‌شود $1=0$ )؛ در واقع $\mathcal{N}(R)\subseteq J(R)$ ؛
به ازای هر پوچ‌توان $x$ ، عضو $1+x$ یکه است — به لم سری هندسی در ادامه نگاه کنید.

پوچ‌توان‌های یک ضرب در هم ضرب می‌شوند

توان‌ها مؤلفه‌به‌مؤلفه‌اند، $(r,s)^{k}=(r^{k},s^{k})$ ، پس یک $k$ -تایی پوچ‌توان است اگر و تنها اگر هر مختصاتش پوچ‌توان باشد (بیشینهٔ توان‌ها را بگیرید):

$\mathcal{N}(R_1\times\cdots\times R_k)=\mathcal{N}(R_1)\times\cdots\times\mathcal{N}(R_k),\qquad \#\mathcal{N}\Big(\prod_i R_i\Big)=\prod_i \#\mathcal{N}(R_i).$

پوچ‌توان‌های $\mathbb{Z}_n$

بنویسید $n=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$ و $\operatorname{rad}(n)=p_1p_2\cdots p_r$ را هستهٔ خالی از مربع آن بنامید. آنگاه

$\bar x\ \text{nilpotent in }\mathbb{Z}_n\iff \operatorname{rad}(n)\mid x,\qquad \mathcal{N}(\mathbb{Z}_n)=\operatorname{rad}(n)\mathbb{Z}_n,\qquad \#\mathcal{N}(\mathbb{Z}_n)=\frac{n}{\operatorname{rad}(n)}=\prod_i p_i^{a_i-1}.$

( $\Rightarrow$ ) از $n\mid x^{m}$ نتیجه می‌شود هر $p_i\mid x$ . ( $\Leftarrow$ ) اگر $\operatorname{rad}(n)\mid x$ آنگاه $x^{\max_i a_i}$ بر $n$ بخش‌پذیر است. به‌ویژه $\mathbb{Z}_n$ تحویل‌یافته است اگر و تنها اگر $n$ خالی از مربع باشد — آینهٔ حسابیِ « $k[x]/\langle f\rangle$ پوچ‌توان ندارد اگر و تنها اگر $f$ خالی از مربع باشد».

چهار شمارش در $\mathbb{Z}_n$ ، که همگی بنا بر CRT روی عامل‌های توان‌اول ضربی‌اند:

مجموعه	اندازه در $\mathbb{Z}_n$	دلیل
یکه‌ها $U(\mathbb{Z}_n)$	$\varphi(n)=n\prod_i\left(1-\tfrac{1}{p_i}\right)$	$\bar x$ وارون‌پذیر است $\iff\gcd(x,n)=1$
پوچ‌توان‌ها $\mathcal{N}(\mathbb{Z}_n)$	$n/\operatorname{rad}(n)$	مضرب‌های هستهٔ خالی از مربع
خودتوان‌ها	$2^{r}$	CRT: در هر $\mathbb{Z}_{p_i^{a_i}}$ عدد $0$ یا $1$ را انتخاب کنید
مقسوم‌علیه‌های صفر ناصفر	$n-\varphi(n)-1$	سه‌گانگی حلقه‌های متناهی در ادامه

خلاصهٔ ساختاری: $\mathbb{Z}_n$ میدان است اگر و تنها اگر $n$ اول باشد، موضعی است اگر و تنها اگر $n=p^{a}$ (با $\mathfrak{m}=(p)$ )، تحویل‌یافته است اگر و تنها اگر $n$ خالی از مربع باشد، و ضربی از میدان‌ها است اگر و تنها اگر $n$ خالی از مربع باشد.

مثال کوچک حل‌شده — یک ضرب از حلقه‌های دوری چند پوچ‌توان دارد؟

$\#\mathcal{N}(\mathbb{Z}_{24}\times\mathbb{Z}_{9})$ را با دستور کار کلی حساب کنید: هر پیمانه را تجزیه کنید، برای هر عامل $n/\operatorname{rad}(n)$ را بشمارید، و ضرب کنید.

$24=2^{3}\cdot 3\Rightarrow\operatorname{rad}(24)=6$ ، پس $\mathcal{N}(\mathbb{Z}_{24})=\{0,6,12,18\}$ دارای $24/6=4$ عضو است (وارسی: $6^{3}=216\equiv0$ ).
$9=3^{2}\Rightarrow\operatorname{rad}(9)=3$ ، پس $\mathcal{N}(\mathbb{Z}_{9})=\{0,3,6\}$ دارای $9/3=3$ عضو است.
ضرب کنید: $\#\mathcal{N}=4\cdot 3=12$ .

وارسی متقابل با CRT: $\mathbb{Z}_{24}\cong\mathbb{Z}_{8}\times\mathbb{Z}_{3}$ ، پس حلقه همان $\mathbb{Z}_{8}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{9}$ است با شمارش $4\cdot 1\cdot 3=12$ — میدان $\mathbb{Z}_3$ تنها $0$ را می‌آورد. توجه کنید شمارش‌های همسایه در همین حلقهٔ مرتبهٔ $216$ چقدر متفاوت رفتار می‌کنند: $\#U=\varphi(24)\varphi(9)=8\cdot 6=48$ یکه و $216-48-1=167$ مقسوم‌علیه صفر ناصفر، در برابر تنها $11$ پوچ‌توان ناصفر.

نکتهٔ کنکوری: برای $\mathbb{Z}_n$ این جفت را حفظ کنید: « $\varphi(n)$ یکه، $n/\operatorname{rad}(n)$ پوچ‌توان»، و به یاد داشته باشید که هر دو روی ضرب متناهی ضربی‌اند، چون پوچ‌توانی و وارون‌پذیری مختصات‌به‌مختصات بررسی می‌شوند. اگر صورت سؤال به‌جای آن مقسوم‌علیه‌های صفر را بخواهد، از سه‌گانگی $\lvert R\rvert=1+\#U(R)+\#\{\text{zero divisors}\}$ استفاده کنید — نه از شمارش پوچ‌توان‌ها.

یکه‌ها در برابر مقسوم‌علیه‌های صفر: دوگانگی حلقه‌های متناهی

قضیه. فرض کنید $R$ حلقه‌ای متناهی با $1$ باشد و $a\in R$ ، $a\neq 0$ . آنگاه $a$ یا یکه است یا مقسوم‌علیه صفر.

اثبات. ضرب از چپ $\lambda_a:R\to R$ ، $\lambda_a(x)=ax$ ، جمعی است، و روی مجموعه‌ای متناهی یک‌به‌یک $\iff$ پوشا $\iff$ دوسویی.

اگر $\lambda_a$ یک‌به‌یک نباشد، آنگاه $ax=ay$ با $x\neq y$ ، پس $a(x-y)=0$ با $x-y\neq0$ : یعنی $a$ مقسوم‌علیه صفر است.
اگر $\lambda_a$ یک‌به‌یک باشد، پوشاست، پس $ab=1$ برای برخی $b$ . آنگاه $a(ba-1)=(ab)a-a=a-a=0=a\cdot 0$ ، و یک‌به‌یکی می‌دهد $ba=1$ . پس $a\in U(R)$ . $\blacksquare$

استدلال فقط از متناهی‌بودن استفاده می‌کند — نه از جابه‌جایی — و در حقیقت گزارهٔ لانه‌کبوتری در لباس مبدل است. نتایج:

هر دامنهٔ صحیح متناهی یک میدان است؛ در حالت ناجابه‌جایی، هر حلقهٔ تقسیم متناهی یک میدان است (قضیهٔ کوچک ودربرن).
در حلقهٔ جابه‌جایی متناهی، اول $=$ ماکسیمال (خارج‌قسمت $R/P$ دامنه‌ای متناهی و در نتیجه میدان است).
حلقهٔ متناهی به‌صورت $R=\{0\}\sqcup U(R)\sqcup\{\text{zero divisors}\}$ تجزیه می‌شود، و پوچ‌توان‌ها اکیداً درون مقسوم‌علیه‌های صفر می‌نشینند.

متناهی‌بودن ضروری است. در $\mathbb{Z}$ عضو $2$ نه یکه است و نه مقسوم‌علیه صفر؛ همچنین $x\in k[x]$ و $2\in\mathbb{Z}_{(3)}$ . حلقه‌های نامتناهی دقیقاً جایی هستند که «یک‌به‌یک $\Rightarrow$ پوشا» نقض می‌شود، و به همین دلیل است که $\mathbb{Z}$ دامنه است و میدان نیست.

یکه‌ها، پوچ‌توان‌ها و حلقه‌های موضعی

یک لم کوتاه شمار شگفت‌آوری از پرسش‌ها را حل می‌کند: در حلقهٔ یکدار، هرگاه $n$ پوچ‌توان باشد $1+n$ یکه است. اگر $n^{k}=0$ باشد سری هندسی بریده پایان می‌پذیرد و وارون را می‌دهد:

$(1+n)^{-1}=1-n+n^{2}-\cdots+(-1)^{k-1}n^{k-1}.$

در نتیجه، اگر $I$ یک ایده‌آل پوچ (nil) باشد (هر عضوش پوچ‌توان)، آنگاه برای یکهٔ $u$ و $a\in I$ ، یکه را فاکتور بگیرید: $u+a=u(1+u^{-1}a)$ با $u^{-1}a\in I$ پوچ‌توان، پس $u+a$ باز هم یکه است. پس $U(R)+I=U(R)$ — یکه‌ها تحت اختلال‌های پوچ‌توانِ برخاسته از یک ایده‌آل پایدارند.

دقیقاً کجا نقض می‌شود. گام $u+a=u(1+u^{-1}a)$ نیازمند پوچ‌توان بودن $u^{-1}a$ است، که وقتی $a$ در ایده‌آل پوچ دوطرفه‌ای قرار دارد، یا وقتی $a$ و $u$ جابه‌جا می‌شوند — به‌ویژه همیشه در حلقهٔ جابه‌جایی — خودکار برقرار است. برای یک پوچ‌توان تنها در حلقهٔ ناجابه‌جایی، گزاره نادرست است:

$u=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\in U(M_2(\mathbb{R})),\qquad n=\begin{pmatrix}0&0\\-1&0\end{pmatrix},\ n^{2}=0,\qquad u+n=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$

دترمینان $0$ دارد، پس وارون‌پذیر نیست. بنابراین «یکه $+$ پوچ‌توان $=$ یکه» قضیه‌ای جابه‌جایی (یا ایده‌آل‌پوچی) است — دقیقاً همان ظرافتی که یک سؤال «همواره درست است؟» از آن بهره می‌برد.

یکه‌ها در برابر ایده‌آل‌های سره — شمول رایگان

در حلقهٔ یکدار، هیچ ایده‌آل سره‌ای شامل یکه نیست: اگر $u\in I\cap U(R)$ آنگاه $1=u^{-1}u\in I$ و $I=R$ . پس

$I\ \text{proper}\iff I\cap U(R)=\varnothing\iff I\subseteq R\setminus U(R)\iff U(R)\subseteq R\setminus I .$

آن فرم آخر را با دقت بخوانید: « $U(R)\subseteq R\setminus I$ » گزارهٔ ارزان است — برای هر ایده‌آل سره برقرار است و بنابراین هیچ چیزی دربارهٔ ماکسیمال‌بودن نمی‌گوید ( $I=4\mathbb{Z}\subsetneq 2\mathbb{Z}\subsetneq\mathbb{Z}$ در آن صدق می‌کند و ماکسیمال نیست). گزارهٔ گران‌بها شمول معکوس $R\setminus I\subseteq U(R)$ است.

معیار موضعی‌بودن: وقتی ناـیکه‌ها یک ایده‌آل می‌سازند

حلقهٔ یکدار $R$ را موضعی می‌نامیم هرگاه دقیقاً یک ایده‌آل ماکسیمال $\mathfrak{m}$ داشته باشد.

قضیه. برای ایده‌آل سرهٔ $I\trianglelefteq R$ گزاره‌های زیر هم‌ارزند:

$R\setminus I\subseteq U(R)$ — هر چیزی بیرون از $I$ وارون‌پذیر است؛
$I=R\setminus U(R)$ — ناـیکه‌ها دقیقاً همان $I$ هستند (پس یک ایده‌آل می‌سازند)؛
$R$ موضعی است با یگانه ایده‌آل ماکسیمال $\mathfrak{m}=I$ .

اثبات. (۱) $\Rightarrow$ (۲): سره‌بودن می‌دهد $I\subseteq R\setminus U(R)$ و (۱) شمول معکوس است. (۲) $\Rightarrow$ (۳): اگر $I\subsetneq J\subseteq R$ ، عضوی $x\in J\setminus I$ برگزینید؛ آنگاه $x\in U(R)$ ، پس $1=x^{-1}x\in J$ و $J=R$ — پس $I$ ماکسیمال است. هر ایده‌آل ماکسیمال دیگری سره است، پس از ناـیکه‌ها تشکیل شده، پس درون $I$ قرار دارد، پس بنا بر ماکسیمال‌بودن با $I$ برابر است. (۳) $\Rightarrow$ (۱): برای ناـیکهٔ $x$ ، ایده‌آل $(x)$ سره است، پس $(x)\subseteq$ یک ایده‌آل ماکسیمال $=\mathfrak{m}=I$ (زرن)، پس هر عضو بیرون از $I$ یکه است. $\blacksquare$

به‌ویژه $R\setminus I\subseteq U(R)\Rightarrow I$ ماکسیمال است، در حالی که عکس آن نادرست است: لازم نیست یک ایده‌آل ماکسیمال همهٔ ناـیکه‌ها را در خود جمع کند. $2\mathbb{Z}\trianglelefteq\mathbb{Z}$ ماکسیمال است ( $\mathbb{Z}/2\cong\mathbb{F}_2$ )، ولی $3\notin 2\mathbb{Z}$ یکه نیست — $\mathbb{Z}$ بی‌نهایت ایده‌آل ماکسیمال دارد و موضعی نیست.

حلقهٔ موضعی	یگانه ایده‌آل ماکسیمال	یکه‌ها	ناـیکه‌ها
میدان $K$	$(0)$	$K\setminus\{0\}$	$\{0\}$
$\mathbb{Z}/p^{n}$	$(\bar p)$	کلاس‌های نسبت‌به $p$ اول	مضرب‌های $p$
$\mathbb{Z}/4$	$\{0,2\}$	$\{1,3\}$	$\{0,2\}$
$K[[x]]$	$(x)$	سری‌هایی با $a_0\neq 0$	سری‌هایی با $a_0=0$
$\mathbb{Z}_{(p)}=\{a/b:\ p\nmid b\}$	$p\mathbb{Z}_{(p)}$	$a/b$ با $p\nmid a$	$p\mid a$
$K[x]/\langle x^{n}\rangle$	$(\bar x)$	$\bar g$ با $g(0)\neq 0$	$\bar g$ با $g(0)=0$

نامثال‌ها: $\mathbb{Z}$ ، $K[x]$ ، $\mathbb{Z}/6\cong\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/3$ — ضربی ناتباه هرگز موضعی نیست، چون $(1,0)$ و $(0,1)$ ناـیکه‌هایی هستند که مجموعشان یکهٔ $1$ است.

مانع کلی با رادیکال جیکوبسون $J(R)=\bigcap\{\text{maximal ideals}\}$ سنجیده می‌شود، که با شرط $x\in J(R)\iff 1+rx\in U(R)$ برای هر $r\in R$ مشخص می‌شود. هر ایده‌آل پوچ درون $J(R)$ قرار دارد — دقیقاً همان لم «یکه $+$ پوچ‌توان $=$ یکه» بالا — و $R$ موضعی است اگر و تنها اگر $R/J(R)$ یک میدان باشد.

«کدام گزاره همواره درست است؟» — جدول ممیزی

وقتی صورت سؤال می‌گوید همواره صحیح، یک ادعا باید در حلقه‌های ناجابه‌جایی، زیرحلقه‌های غیریکدار و حلقه‌های نامتناهی دوام بیاورد. دو ماشین مثال‌نقض به‌علاوهٔ $\mathbb{Z}$ تقریباً تمام فهرست را تعیین تکلیف می‌کنند:

گزاره	حکم	عامل ابطال / اثبات
$\ker f$ ایده‌آل است	درست	استدلال دوخطی جذب
$\operatorname{Im}f$ ایده‌آل است	نادرست	$\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}$
$Z(R)$ ایده‌آلی از $R$ است	نادرست	$M_2(\mathbb{R})$ ؛ ایده‌آلی شامل $1$ کل $R$ است، پس ایده‌آل‌بودن $Z(R)$ $\Rightarrow$ جابه‌جایی‌بودن $R$
$S\subseteq R$ حلقه‌هایی با همانی $\Rightarrow 1_S=1_R$	نادرست	$S=\mathbb{Z}\times\{0\}\subseteq R=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ ، $1_S=(1,0)$
هر عضو ناصفر یک حلقهٔ متناهی یکه یا مقسوم‌علیه صفر است	درست	$\lambda_a$ یک‌به‌یک $\iff$ پوشا
هر عضو ناصفر هر حلقه‌ای یکه یا مقسوم‌علیه صفر است	نادرست	$2\in\mathbb{Z}$
یکه $+$ پوچ‌توان یکه است	در حالت کلی نادرست	$M_2(\mathbb{R})$ بالا؛ درست اگر جابه‌جا شوند یا پوچ‌توان در ایده‌آلی پوچ باشد
برای $n$ پوچ‌توان، $1+n$ یکه است	درست	سری هندسی بریده (اینجا $1$ و $n$ جابه‌جا می‌شوند)
پوچ‌توان‌ها یک ایده‌آل می‌سازند	درست اگر و تنها اگر جابه‌جایی باشد	$E_{12}+E_{21}\in U(M_2(k))$
مقسوم‌علیه‌های صفر یک ایده‌آل می‌سازند	نادرست	$2+3=5$ در $\mathbb{Z}_6$
دامنهٔ متناهی یک میدان است	درست	دوگانگی $+$ نبود مقسوم‌علیه صفر

الگوهای تکرارشوندهٔ کنکوری

صورت سؤالی که خواهید شناخت	حرکتی که آن را حل می‌کند	آنچه گزینه‌ها مقابل هم می‌گذارند
«کدام همواره ایده‌آل است: $\ker f$ ، $\operatorname{Im} f$ ، $Z(R)$ ؟»	جذب را بیازمایید، نه بستگی را	هسته (ایده‌آل) در برابر تصویر/مرکز (فقط زیرحلقه)
«تعداد همریختی‌های حلقه‌ای $A\to B$ »	روش خودتوان‌ها روی مولدهای جمعی	$k$ در برابر $k+1$ (یکدار یا نه) در برابر «بی‌نهایت» (فراموش‌کردن ضربی‌بودن)
«همریختی ناصفر میان حلقه‌های یکدار — کدام استلزام برقرار است؟»	$f(1_R)$ را به توان دو برسانید؛ از $e(e-1)=0$ استفاده کنید	فرض روی هم‌دامنه در برابر فرض روی مبدأ؛ $f(1_R)=1_S$ در برابر «دامنه‌بودن منتقل می‌شود»
« $k[x]/\langle f\rangle\cong$ ؟»	$f$ را روی میدان پایه تجزیه کنید، سپس CRT	میدان پایهٔ اشتباه ( $\mathbb{R}^{4}$ در برابر $\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{C}$ ) یا بُعد کل اشتباه
« $M_1\neq M_2$ ماکسیمال — کدام اتحاد برقرار است؟»	لم ۱ $+$ لم ۲ $+$ CRT	$M_1M_2$ در برابر $M_1+M_2$ در برابر $M_1\cap M_2$ ؛ ضرب در برابر «اشتراک» خارج‌قسمت‌ها
«آیا $\langle 2\rangle$ یا $\langle x\rangle$ در $\mathbb{Z}[x]$ ماکسیمال است؟»	خارج‌قسمت را حساب کنید	اول ولی غیرماکسیمال در برابر ماکسیمال
«آیا $u+a$ وقتی $a$ پوچ‌توان است یکه است؟»	$u+a=u(1+u^{-1}a)$ ، اگر جابه‌جا شوند	یکه در برابر مقسوم‌علیه صفر در برابر «فقط در حالت جابه‌جایی»
«مشخصهٔ $R\times S$ / یک زیرحلقه / یک حلقهٔ نامتناهی»	$\operatorname{lcm}$ ؛ می‌شمارد؛ $\mathbb{F}_2[x]$	$mn$ در برابر $\operatorname{lcm}$ ؛ تساوی در برابر بخش‌پذیری؛ متناهی در برابر نامتناهی
« $U(R)\subseteq R\setminus I$ یا $R\setminus I\subseteq U(R)$ — کدام ماکسیمال‌بودن را ایجاب می‌کند؟»	اولی $=$ سره‌بودن، دومی $=$ معیار موضعی‌بودن	صرفاً سره در برابر ماکسیمال در برابر «هرگز رخ نمی‌دهد»
« $\mathbb{Z}_{m}\times\mathbb{Z}_{n}$ چند پوچ‌توان دارد؟»	$\prod_i n_i/\operatorname{rad}(n_i)$	پوچ‌توان‌ها در برابر مقسوم‌علیه‌های صفر در برابر یکه‌ها ( $\varphi$ ) در برابر خودتوان‌ها ( $2^{r}$ )
« $f:R\twoheadrightarrow S$ — مشخصه‌ها چه نسبتی دارند؟»	$n\cdot s=f(n\cdot r)$ را به جلو ببرید	کدام حلقه مشخصهٔ ناصفر دارد، و کدام کدام را می‌شمارد
«کدام گزاره همواره درست است؟»	در $M_2(\mathbb{R})$ ، در $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ و در $\mathbb{Z}$ بیازمایید	قضایای جهانی در برابر قضایای فقط-جابه‌جایی / فقط-متناهی / فقط-زیرحلقهٔ-یکدار

نکتهٔ کنکوری: تقریباً هر سؤال حلقه را از مسیر یک خارج‌قسمت، یک تجزیه، یا حرکت فاکتورگیری از یکه عبور دهید. میدان‌بودن مبدأ هسته را کنترل می‌کند (یک‌به‌یکی را ایجاب می‌کند)؛ آزمون میدان/خارج‌قسمت میان اول و ماکسیمال تصمیم می‌گیرد ( $R/I$ دامنه در برابر میدان)؛ «یکه $+$ پوچ‌توان $=$ یکه» از $u+a=u\left(1+u^{-1}a\right)$ می‌آید؛ و عبارت «ایده‌آل‌های ماکسیمال متمایز» رمزی برای هم‌ماکسیمال است، که CRT را فعال می‌کند و $M_1\cap M_2$ را به $M_1M_2$ فرو می‌کاهد. مراقب تله‌های کلاسیک باشید: هم‌دامنهٔ میدانی هیچ کران بالایی بر تصویر نمی‌گذارد، پس «هدف میدان است $\Rightarrow$ پوشاست» نادرست است؛ $R/(M_1+M_2)$ حلقهٔ صفر است، نه یک ضرب؛ و CRT به دادهٔ دوبه‌دو هم‌ماکسیمال (خالی از مربع) نیاز دارد — عاملی تکراری حلقه‌ای موضعی با پوچ‌توان بر جای می‌گذارد، نه یک میدان.

تلهٔ رایج: در سؤال‌های «کدام گزینه درست است»، تله تقریباً همیشه یک جهت وارونه‌شده است. $f(1_R)=1_S$ به دامنه‌بودن هم‌دامنه نیاز دارد، نه مبدأ؛ $\operatorname{char}$ یک زیرحلقه، مشخصهٔ حلقه را می‌شمارد (با آن برابر نیست)، $\operatorname{char}$ یک ضرب ک.م.م است نه حاصل‌ضرب، و در امتداد یک پوشا رابطه $\operatorname{char}(S)\mid\operatorname{char}(R)$ است، هرگز برعکس؛ $U(R)\subseteq R\setminus I$ برای هر ایده‌آل سره رایگان است در حالی که $R\setminus I\subseteq U(R)$ همان فرض قوی « $R$ موضعی است» است. یک شمول یا یک استلزام را وارونه کنید و گزاره‌ای درست به یکی از سه گزینهٔ انحرافی بدل می‌شود.

نکتهٔ کنکوری: برای سؤال‌های «همواره درست»، سه ماشین مثال‌نقض را آمادهٔ استفاده نگه دارید — $M_2(\mathbb{R})$ (که مرکز ایده‌آل است، پوچ‌توان‌ها ایده‌آل می‌سازند و یکه $+$ پوچ‌توان یکه است را از بین می‌برد)، $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ (که $1_S=1_R$ ، $f(1_R)=1_S$ و ضرب یک دامنه است را از بین می‌برد)، و خودِ $\mathbb{Z}$ (که هر چیزی را که در نهان به متناهی‌بودن نیاز دارد، مانند دوگانگی یکه-یا-مقسوم‌علیه‌صفر، از بین می‌برد). آنچه از هر سه جان سالم به در ببرد، پاسخ است.

فرمول‌های کلیدی

First Isomorphism Theorem

R/\ker f \;\cong\; f(R)

Prime ideal via quotient

P \text{ prime} \iff R/P \text{ is an integral domain}

Maximal ideal via quotient

M \text{ maximal} \iff R/M \text{ is a field}

Chinese Remainder Theorem (pairwise comaximal ideals)

\frac{R}{I_1 I_2 \cdots I_k} \;\cong\; \frac{R}{I_1}\times\cdots\times\frac{R}{I_k} \qquad (I_i+I_j=R,\ i\neq j)

Comaximal ideals: product equals intersection

I+J=R \;\Longrightarrow\; IJ = I\cap J

Counting ring homomorphisms out of a product of copies of Z

\#\operatorname{Hom}_{\mathrm{ring}}\!\left(\mathbb{Z}^{k},D\right)=k+1 \quad (D \text{ a domain};\ k \text{ if unital})

Inverse of unit + nilpotent

(1+n)^{-1}=1-n+n^{2}-\cdots+(-1)^{k-1}n^{k-1} \quad (n^{k}=0)

Unit plus nil ideal

u+a=u\left(1+u^{-1}a\right) \;\Rightarrow\; U(R)+I=U(R)

Image of the identity under a nonzero homomorphism

f(1_R)^{2}=f(1_R)\neq 0 \;\Longrightarrow\; f(1_R)=1_S \quad (S \text{ an integral domain})

Characteristic of a product ring

\operatorname{char}(R\times S)=\operatorname{lcm}\big(\operatorname{char}R,\ \operatorname{char}S\big)

Local criterion (non-units form an ideal)

R\setminus I\subseteq U(R) \;\Longleftrightarrow\; I=R\setminus U(R) \;\Longleftrightarrow\; R \text{ is local with } \mathfrak{m}=I

Characteristic along a surjection

f:R\twoheadrightarrow S,\ \operatorname{char}(R)=n\neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{char}(S)\neq 0 \ \text{ and }\ \operatorname{char}(S)\mid\operatorname{char}(R)

Nilpotents of Z_n and of a product

\#\mathcal{N}(\mathbb{Z}_n)=\frac{n}{\operatorname{rad}(n)},\qquad \mathcal{N}\Big(\prod_i R_i\Big)=\prod_i \mathcal{N}(R_i)

Finite-ring dichotomy

R \text{ finite unital},\ a\neq 0 \;\Longrightarrow\; a\in U(R)\ \text{ or } a \text{ is a zero divisor}

Nilradical as intersection of primes

\mathcal{N}(R)=\bigcap_{P\ \text{prime}} P \qquad (R \text{ commutative})

#ring-theory#ideals#ring-homomorphism#chinese-remainder-theorem#prime-maximal#quotient-ring#units-nilpotent#characteristic-of-a-ring#local-ring#nilradical

سوالات تمرینی · 8/13

مبانی جبرمتوسطنظریهٔ حلقه‌هاکنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴ — سؤال ۹۰

فرض کنید R و S دو حلقه یکدار و f : R → S یک همریختی حلقه‌ای ناصفر باشد. کدام مورد نادرست است؟

مبانی جبرمتوسطحلقه‌ها و ایده‌آل‌هاکنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴ — سؤال ۹۳

در حلقهٔ Z[x] در مورد ایده‌آل‌های I=⟨ 2⟩ و J=⟨ x⟩ کدام گزاره درست است؟

مبانی جبرمتوسطنظریهٔ حلقه‌هاکنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴ — سؤال ۹۴

فرض کنید R حلقه‌ای یکدار و I ایده‌آلی از آن باشد به‌طوری‌که هر عضو I پوچ‌توان است. اگر U(R) مجموعه اعضای وارون‌پذیر R باشد، آنگاه مجموعه U(R)+I برابر است با:

مبانی جبرآساننظریهٔ حلقه‌هاکنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲ — سؤال ۸۶

فرض کنید R و S دو حلقه باشند و f : R → S یک همریختی حلقه‌ای باشد. در این صورت کدام گزینه همـواره یک ایده‌آل است؟

مبانی جبرمتوسطنظریهٔ حلقه‌هاکنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲ — سؤال ۸۹

تعداد همریختی‌های حلقه‌ای از ZtimesZ به Z برابر کدام است؟

مبانی جبرآساننظریهٔ حلقه‌هاکنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲ — سؤال ۹۳

حلقه dfrac R[x] ⟨ x^۴-۱⟩ با کدام گزینه یکریخت است؟

مبانی جبرمتوسطنظریهٔ حلقه‌هاکنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲ — سؤال ۹۵

فرض کنید R حلقه‌ای جابه‌جایی و یکدار باشد و M_۱ و M_۲ ایده‌آل‌های ماکزیمال و متمایز R باشند، کدام گزینه صحیح است؟

مبانی جبرمتوسطنظریهٔ حلقه‌هاکنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱ — سؤال ۹۴

فرض کنید R و S دو حلقه یکدار و f : R → S یک هم‌ریختی حلقه‌ای ناصفر باشد. در این‌صورت، کدام گزینه صحیح است؟

همهٔ 13 سؤال →