سوال ۸۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

همریختی‌ها از یک گروه دوری

$\mathbb{Z}_{3}=\langle 1\rangle$ دوری است، بنابراین یک همریختی $\varphi:\mathbb{Z}_{3}\to\mathbb{Z}_{9}$ کاملاً با تصویر $a=\varphi(1)\in\mathbb{Z}_{9}$ تعیین می‌شود (آنگاه $\varphi(k)=ka$).

کدام $a$ ها مجازند؟ انتساب $1\mapsto a$ دقیقاً وقتی به یک همریختی خوش‌تعریف گسترش می‌یابد که رابطهٔ تعریف‌کنندهٔ $\mathbb{Z}_3$ رعایت شود، یعنی وقتی $3a\equiv 0 \pmod 9 \iff a\in\{0,3,6\}.$ هم‌ارز با آنکه $\operatorname{ord}(a)\mid 3$. پس در مجموع دقیقاً $\gcd(3,9)=3$ همریختی وجود دارد.

تحمیل شرط یک‌به‌یک بودن

$\varphi$ یک‌به‌یک است $\iff \ker\varphi=\{0\}$. چون $\ker\varphi$ زیرگروهی از $\mathbb{Z}_3$ است (که مرتبهٔ آن عدد اول $3$ است)، هستهٔ آن یا $\{0\}$ است یا کل $\mathbb{Z}_3$؛ حالت دوم دقیقاً برای نگاشت بدیهی $a=0$ رخ می‌دهد. بنابراین $\varphi \text{ injective} \iff \operatorname{ord}\bigl(\varphi(1)\bigr)=3 .$ در $\mathbb{Z}_{9}$ عناصری که مرتبهٔ آن‌ها دقیقاً $3$ است عبارت‌اند از $a=3$ و $a=6$ (در واقع $\operatorname{ord}(a)=\tfrac{9}{\gcd(a,9)}=3$ ایجاب می‌کند $\gcd(a,9)=3$). پس $\#\{\text{injective } \varphi\}=\#\{a\in\mathbb{Z}_9:\operatorname{ord}(a)=3\}=\varphi_{\mathrm{Euler}}(3)=2 .$

این دو نگاشت عبارت‌اند از $\varphi_1(k)=3k,\qquad \varphi_2(k)=6k \pmod 9 .$

وارسی ساختاری

$\mathbb{Z}_9$ یگانه زیرگروه از مرتبهٔ $3$ دارد، یعنی $H=\{0,3,6\}\cong\mathbb{Z}_3$. یک همریختی یک‌به‌یک $\mathbb{Z}_3\to\mathbb{Z}_9$ معادل است با انتخاب چنین زیرگروهی به‌همراه یک یکریختی بر روی آن، پس شمارش چنین می‌شود: $(\text{number of subgroups of order }3)\times|\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_3)|=1\times 2=2 .$

پس پاسخ ۲ است — گزینهٔ ۲.

نکتهٔ کنکوری: $|\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}_m,\mathbb{Z}_n)|=\gcd(m,n)$، اما تعداد همریختی‌های یک‌به‌یک برابر $\varphi_{\mathrm{Euler}}(m)$ است هرگاه $m\mid n$ (و در غیر این صورت $0$). اینجا $\gcd(3,9)=3$ همان گزینهٔ انحرافی ۳ است — چون نگاشت بدیهی را هم می‌شمارد که یک‌به‌یک نیست.