سوال ۹۲ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱

دو فرمول ساختاری برای ایده‌آل‌های $\mathbb{Z}$

$\mathbb{Z}$ یک دامنهٔ ایده‌آل اصلی است: هر ایده‌آل به شکل $\langle n\rangle = n\mathbb{Z}$ برای یک $n \ge 0$ یکتا است. برای $a,b \in \mathbb{Z}$ دو عمل مشبکه‌ای روی ایده‌آل‌ها با نظریهٔ اعداد محاسبه می‌شوند:

$\langle a\rangle + \langle b\rangle = \langle \gcd(a,b)\rangle, \qquad \langle a\rangle \cap \langle b\rangle = \langle \operatorname{lcm}(a,b)\rangle .$

چرا مجموع، بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک را می‌دهد. بنا به تعریف $\langle a\rangle+\langle b\rangle=\{ax+by : x,y\in\mathbb{Z}\}$ است، که دقیقاً مجموعهٔ ترکیب‌های خطی $\mathbb{Z}$-ای از $a$ و $b$ است. بنا به اتحاد بزو (Bézout) کوچک‌ترین ترکیب مثبت از این نوع برابر $d=\gcd(a,b)$ است و هر ترکیبی مضربی از $d$ است؛ پس مجموع برابر $\langle d\rangle$ می‌شود. به بیان معادل: $\langle a\rangle+\langle b\rangle$ کوچک‌ترین ایده‌آل شامل هر دو، یعنی اجتماع (join) آن‌هاست، پس متناظر با بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک است (بخش‌پذیری، شمول را وارون می‌کند: $\langle a\rangle \subseteq \langle b\rangle \iff b \mid a$).

چرا اشتراک، کوچک‌ترین مضرب مشترک را می‌دهد. $n \in \langle a\rangle \cap \langle b\rangle \iff a\mid n$ و $b\mid n \iff \operatorname{lcm}(a,b)\mid n$. پس اشتراک — یعنی تقاطع (meet)، بزرگ‌ترین ایده‌آل مشمول در هر دو — برابر $\langle\operatorname{lcm}(a,b)\rangle$ است.

بررسی چهار گزینه

جزئیات خطاها:

• گزینهٔ ۱. $5$ و $12$ نسبت به هم اول‌اند؛ در واقع $5\cdot 5 - 2\cdot 12 = 1$، پس $1 \in \langle 5\rangle+\langle 12\rangle$ و مجموع برابر کل $\mathbb{Z}$ است. (این همان صورت ایده‌آلی فرضِ قضیهٔ باقی‌ماندهٔ چینی است: $\langle 5\rangle$ و $\langle 12\rangle$ هم‌ماکسیمال‌اند، پس $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$.)
• گزینهٔ ۲. $60 \in \langle 5\rangle\cap\langle 12\rangle$ و $60 \ne 0$، پس اشتراک به هیچ وجه بدیهی نیست. دو ایده‌آل ناصفر در یک دامنهٔ صحیح همواره اشتراک ناتهی و ناصفر دارند (اگر $0\neq a\in I,\ 0\neq b\in J$ آنگاه $0 \neq ab \in I\cap J$).
• گزینهٔ ۳. $8x+12y$ همواره مضربی از $4$ است و مقدار $4=8\cdot 2-12$ نیز حاصل می‌شود، پس مجموع برابر $\langle 4\rangle \supsetneq \langle 24\rangle$ است.
• گزینهٔ ۴. $\operatorname{lcm}(8,12)=\dfrac{8\cdot 12}{\gcd(8,12)}=\dfrac{96}{4}=24$. مستقیماً: $n$ مضرب مشترک $8$ و $12$ است اگر و تنها اگر $2^3\mid n$ و $2^2\cdot 3\mid n$، یعنی اگر و تنها اگر $2^3\cdot 3=24$ بر $n$ بخش‌پذیر باشد. پس $\langle 8\rangle\cap\langle 12\rangle=\langle 24\rangle$. ✔

بنابراین گزینهٔ درست گزینهٔ ۴ است.

نکتهٔ کنکوری: این فرهنگ‌نامه را حفظ کنید: مجموع $\leftrightarrow$ ب.م.م، اشتراک $\leftrightarrow$ ک.م.م، ضرب $\leftrightarrow$ ضرب ($\langle a\rangle\langle b\rangle=\langle ab\rangle$). گزینه‌های ۱ و ۳ نقش‌ها را جابه‌جا می‌کنند (عددی از جنس ک.م.م را جایی می‌گذارند که ب.م.م باید بیاید) — همان گزینهٔ انحرافی کلاسیک. توجه کنید که $\langle a\rangle\cap\langle b\rangle = \langle a\rangle\langle b\rangle$ تنها وقتی برقرار است که $\gcd(a,b)=1$ باشد.

تلهٔ رایج: شمول در $\mathbb{Z}$ وارونِ بخش‌پذیری است: $\langle 24\rangle \subseteq \langle 8\rangle$ زیرا $8 \mid 24$؛ یعنی مولدِ بزرگ‌تر، ایده‌آلِ کوچک‌تر را می‌دهد.