سوال ۹۱ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱

روش. وارون تنها نسبت به یک عضو همانی معنا دارد، پس محاسبه دو مرحله دارد: نخست عضو همانی $e$ از $(\mathbb{R}\setminus\{0\},*)$ را بیابیم، سپس معادلهٔ $10*y=e$ را حل کنیم.

گام ۱ — عضو همانی

به $e\neq 0$ نیاز داریم که برای هر $x\neq 0$ داشته باشیم $x*e=e*x=x$.

دلخواه $x>0$ را در نظر بگیرید. برای $x*e$ شاخهٔ نخست به کار می‌رود، پس

$x*e=6xe=x\ \Longrightarrow\ 6e=1\ \Longrightarrow\ e=\frac{1}{6}.$

بنابراین $e=\tfrac16$ تنها نامزد ممکن است. اکنون درستی آن را در همهٔ حالت‌ها بررسی می‌کنیم (توجه کنید $e=\tfrac16>0$ است، پس $e*x$ همواره از شاخهٔ نخست استفاده می‌کند):

• $e*x=6\cdot\tfrac16\cdot x=x$ برای هر $x\neq0$؛
• $x*e=6x\cdot\tfrac16=x$ برای $x>0$؛
• $x*e=\dfrac{x}{6e}=\dfrac{x}{6\cdot\frac16}=\dfrac{x}{1}=x$ برای $x<0$.

پس عضو همانی برابر است با

$e=\frac{1}{6}.$

گام ۲ — وارون $10$

چون $10>0$ است، شاخهٔ نخست می‌دهد $10*y=6\cdot 10\cdot y=60y$. حل می‌کنیم:

$60y=e=\frac16\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{360}.$

طرف دیگر را نیز وارسی می‌کنیم: $y=\tfrac{1}{360}>0$، پس

$y*10=6\cdot\frac{1}{360}\cdot 10=\frac{60}{360}=\frac16=e.\ \checkmark$

بنابراین $10^{-1}=\dfrac{1}{360}$ — گزینهٔ ۲.

یادداشت (چرا این ساختار واقعاً گروه است)

این ساختار به‌راستی یک گروه است و به همین دلیل «وارون» خوش‌تعریف و یکتاست. شرکت‌پذیری در هر چهار حالت علامت برقرار است؛ برای نمونه برای $x<0,\;y>0$،

$(x*y)*z=\frac{x}{6y}*z=\frac{x/(6y)}{6z}=\frac{x}{36yz},\qquad x*(y*z)=x*(6yz)=\frac{x}{6\cdot 6yz}=\frac{x}{36yz}.$

هر عضو وارون‌پذیر است: برای $x>0$ داریم $x^{-1}=\dfrac{1}{36x}$، و برای $x<0$ به دست می‌آید $x*x=\dfrac{x}{6x}=\dfrac16=e$، یعنی هر عدد منفی وارون خودش است (یک درگیرنده یا involution).

چرا گزینه‌های انحرافی نادرست‌اند

نکتهٔ کنکوری: در هر پرسشِ «عمل دودویی غیرمتعارف»، هرگز فرض نکنید $e=1$ یا $e=0$ است — نخست همانی را از رابطهٔ $x*e=x$ به دست آورید، سپس $a*a^{-1}=e$ را حل کنید. اینجا $e=\tfrac16$ است و پریدن از این گام دقیقاً شما را به گزینهٔ انحرافیِ پرطرفدار $\tfrac{1}{60}$ می‌رساند.