سوال ۹۳ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱

صورت مسئله. $\mathbb{Z}_{20}=\langle 1\rangle$ گروهی دوری از مرتبهٔ $20$ است و $f$ یک خودریختی (یکریختی گروهی از $\mathbb{Z}_{20}$ روی خودش) است.

قضیهٔ کلیدی (خودریختی‌های یک گروه دوری). هر همریختی از یک گروه دوری با تصویر مولد آن به‌طور کامل تعیین می‌شود: اگر $f(1)=u$ باشد، آن‌گاه برای هر $k$ داریم $f(k)=ku \pmod{20}$. افزون بر این

زیرا $f$ دوسویی است $\iff$ $f(1)$ دوباره یک مولد است $\iff$ $\gcd(f(1),n)=1$.

نتیجه برای $f(3)$. هر یکریختی مرتبهٔ عناصر را حفظ می‌کند. چون $\gcd(3,20)=1$، عنصر $3$ خودش یک مولد $\mathbb{Z}_{20}$ است (مرتبهٔ آن $20$ است)، پس $f(3)$ نیز باید مرتبهٔ $20$ داشته باشد، یعنی $f(3)$ باید مولد باشد:

به‌طور صریح $f(3)=3u$ با $u\in(\mathbb{Z}_{20})^{\times}=\{1,3,7,9,11,13,17,19\}$، و چون $3$ یکّه (یکال) است، $3\cdot(\mathbb{Z}_{20})^{\times}=(\mathbb{Z}_{20})^{\times}$. بنابراین

بررسی گزینه‌ها.

تنها $5$ ناممکن است: اگر $f(3)=5$ باشد، آن‌گاه مرتبهٔ $f(3)$ برابر $\tfrac{20}{\gcd(5,20)}=4\neq 20=\mathrm{ord}(3)$ می‌شود که با حفظ مرتبه توسط یکریختی در تناقض است (در واقع $f$ پوشا نخواهد بود، زیرا $\langle 5\rangle=\{0,5,10,15\}$ باید شامل تصویر یک مولد باشد).

پاسخ: گزینهٔ ۱، $f(3)=5$ ناممکن است.

نکتهٔ کنکوری: برای $\mathbb{Z}_n$، «یکریختی» صرفاً یعنی مولد $\mapsto$ مولد. هر گزینه را با یک $\gcd$ ساده نسبت به $n$ بیازمایید: مقادیری که با $n$ عامل مشترک دارند دقیقاً همان گزینه‌های ناممکن‌اند. اینجا $\gcd(5,20)=5$ بی‌درنگ گزینهٔ ۱ را حذف می‌کند.