سوال ۹۲ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰

روش: هر مجموعه را به‌عنوان هستهٔ یک نگاشت مقداردهی بشناسیم و سپس خارج‌قسمت را بخوانیم

برای هر حلقهٔ جابه‌جایی $R$ با $1$، مقداردهی در $1$، $\varepsilon_{1}:R[x]\longrightarrow R,\qquad \varepsilon_{1}(f)=f(1),$ یک همریختی پوشای حلقه‌ای است (روی چندجمله‌ای‌های ثابت همانی است). بنابراین $\ker\varepsilon_{1}=\{f\in R[x]\ :\ f(1)=0\}=(x-1)$ یک ایده‌آل است و بنا بر قضیهٔ یکریختی اول $\frac{R[x]}{\ker\varepsilon_{1}}\;\cong\;R .$

حال از دو معیار ساختاری برای ایده‌آل سرهٔ $P\trianglelefteq A$ (که $A$ جابه‌جایی با $1$ است) استفاده می‌کنیم:

ایده‌آل $I\subset\mathbb{Z}[x]$

اینجا $R=\mathbb{Z}$ است، پس $I=(x-1)$ و $\frac{\mathbb{Z}[x]}{I}\;\cong\;\mathbb{Z}.$ حلقهٔ $\mathbb{Z}$ دامنهٔ صحیح است، پس $I$ یک ایده‌آل اول است. اما $\mathbb{Z}$ میدان نیست (مثلاً $2$ وارون ندارد)، پس $I$ ماکسیمال نیست. به‌صراحت $I=(x-1)\subsetneq (2,\,x-1)\subsetneq\mathbb{Z}[x]$، و $(2,x-1)$ ماکسیمال است چون $\mathbb{Z}[x]/(2,x-1)\cong\mathbb{F}_{2}$.

ایده‌آل $J\subset\mathbb{Z}_{6}[x]$

اینجا $R=\mathbb{Z}_{6}$ است، پس $J=(x-1)$ در $\mathbb{Z}_{6}[x]$ و $\frac{\mathbb{Z}_{6}[x]}{J}\;\cong\;\mathbb{Z}_{6}.$ چون $\bar 2\cdot\bar 3=\bar 0$ در حالی که $\bar2,\bar3\neq\bar0$، حلقهٔ $\mathbb{Z}_{6}$ مقسوم‌علیه صفر دارد، پس دامنهٔ صحیح نیست. بنابراین $J$ اول نیست (و به طریق اُولی ماکسیمال هم نیست، زیرا در حلقهٔ جابه‌جایی با $1$ داریم ماکسیمال $\Rightarrow$ اول).

یک شاهد صریح در $\mathbb{Z}_{6}[x]$: قرار دهید $f(x)=x+1,\qquad g(x)=x^{2}+x+1 .$ آنگاه $f(1)=\bar2\neq\bar0$ و $g(1)=\bar3\neq\bar0$، پس $f,g\notin J$؛ اما $(fg)(1)=\bar2\cdot\bar3=\bar0$، یعنی $fg\in J$. این مستقیماً تعریف ایده‌آل اول را نقض می‌کند.

بررسی گزینه‌ها

• (۱) نادرست: $J$ اول نیست.
• (۲) درست: $I$ اول است و $J$ اول نیست. $\checkmark$
• (۳) نادرست: $I$ ماکسیمال نیست (ادعای ماکسیمال‌بودن رد می‌شود، هرچند ادعا دربارهٔ $J$ درست است).
• (۴) نادرست: $J$ ماکسیمال نیست.

پس پاسخ گزینهٔ ۲ است.

نکتهٔ کنکوری: هرگز اول‌بودن یا ماکسیمال‌بودن را با نگاه‌کردن به خود ایده‌آل بررسی نکنید — خارج‌قسمت را حساب کنید. هستهٔ «مقداردهی در $a$» روی $R[x]$ برابر $(x-a)$ است و خارج‌قسمت خودِ $R$ می‌شود، پس ایده‌آل دقیقاً خواص $R$ را به ارث می‌برد: اول $\iff$ $R$ دامنهٔ صحیح باشد، ماکسیمال $\iff$ $R$ میدان باشد.

تلهٔ رایج: $(x-1)$ در $\mathbb{Q}[x]$ ماکسیمال است (خارج‌قسمت $\mathbb{Q}$، یک میدان)، اما در $\mathbb{Z}[x]$ فقط اول است (خارج‌قسمت $\mathbb{Z}$) و در $\mathbb{Z}_{6}[x]$ هیچ‌کدام (خارج‌قسمت $\mathbb{Z}_{6}$). ایده‌آل‌های اول ناصفر $\mathbb{Z}[x]$ لزوماً ماکسیمال نیستند، چون بعد کرول $\mathbb{Z}[x]$ برابر $2$ است.