سوال ۹۳ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰

پاسخ: گزینهٔ ۳. سه گزینهٔ دیگر تله‌های کلاسیک «فقط در یک حالت خاص درست»‌اند؛ هر یک با یک مثال نقض کوچک ماتریسی یا حلقهٔ حاصل‌ضربی رد می‌شود.

گزینهٔ ۳ یک قضیه است (متناهی‌بودن ⇐ یک‌به‌یک = دوسویی)

فرض کنید $R$ یک حلقهٔ متناهی با $1$ باشد و $a \in R$، $a \neq 0$. ضرب از چپ را در نظر بگیرید: $\lambda_a : R \to R,\qquad \lambda_a(x) = ax .$ این یک نگاشت جمعی از یک مجموعهٔ متناهی به خودش است، پس $\lambda_a \text{ injective} \iff \lambda_a \text{ surjective} \iff \lambda_a \text{ bijective}.$

حالت الف — $\lambda_a$ یک‌به‌یک نیست. آنگاه برای بعضی $x \neq y$ داریم $ax = ay$، پس $a(x-y) = 0$ با $x - y \neq 0$؛ یعنی $a$ یک مقسوم‌علیه صفر (از چپ) است.

حالت ب — $\lambda_a$ یک‌به‌یک است. آنگاه پوشا نیز هست، پس $b \in R$ ای وجود دارد که $ab = 1 .$ برای به‌دست‌آوردن طرف دیگر، حساب می‌کنیم: $a(ba - 1) = (ab)a - a = a - a = 0 = a\cdot 0 ,$ و یک‌به‌یک‌بودن $\lambda_a$ ایجاب می‌کند $ba - 1 = 0$، یعنی $ba = 1$. بنابراین $a \in R^{\times}$ یک یکه (وارون‌پذیر) است.

پس هر $a$ ناصفر یا مقسوم‌علیه صفر است یا یکه — دقیقاً همان ادعا. (به‌طور معادل: یک حلقهٔ متناهی با $1$ و بدون مقسوم‌علیه صفر، یک دامنهٔ صحیح متناهی است، پس حلقهٔ تقسیم است، و بنا بر قضیهٔ کوچک ودربرن یک میدان است. توجه کنید که استدلال فقط از متناهی‌بودن استفاده می‌کند و هرگز از جابه‌جایی، و برای حلقه‌های نامتناهی برقرار نیست: در $\mathbb{Z}$ عنصر $2$ نه یکه است و نه مقسوم‌علیه صفر.)

چرا سه گزینهٔ دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱ — مرکز لزوماً ایده‌آل نیست. مرکز $Z(R) = \{ z \in R : zr = rz \ \ \forall r \in R \}$ همواره یک زیرحلقهٔ جابه‌جایی است، اما جذب ضرب از بیرون داستان دیگری است. $R = M_2(\mathbb{R})$ را بگیرید که مرکزش ماتریس‌های اسکالر $Z(R) = \{\lambda I\}$ است. آنگاه $I \in Z(R)$ اما $E_{12}\cdot I = E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \notin Z(R).$ در واقع اگر $Z(R)$ ایده‌آلی از $M_2(\mathbb{R})$ بود، ایده‌آلی شامل $1$ می‌شد، یعنی تمام $R$ — که نامعقول است، چون $M_2(\mathbb{R})$ جابه‌جایی نیست.

گزینهٔ ۲ — یک زیرحلقه می‌تواند همانی خاص و متفاوت خودش را داشته باشد. فرض کنید $R = \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ و $S = \mathbb{Z}\times\{0\}$. آنگاه $S$ زیرحلقه‌ای از $R$ است و هر دو همانی دارند، اما $1_S = (1,0) \neq (1,1) = 1_R .$ همانی یک زیرحلقه فقط یک خودتوان در $R$ است؛ دقیقاً وقتی با $1_R$ یکی می‌شود که شرط کنیم $1_R \in S$ (قرارداد «زیرحلقهٔ یکدار»)، که در صورت مسئله چنین شرطی نیامده است.

گزینهٔ ۴ — در حلقه‌های جابه‌جایی درست، اما به‌طور کلی نادرست. اگر $n$ پوچ‌توان و $u$ یکه باشد و $nu^{-1} = u^{-1}n$ (مثلاً وقتی $R$ جابه‌جایی است)، آنگاه $u+n = u(1+u^{-1}n)$ و $1 + m$ با $m$ پوچ‌توان به‌کمک سری هندسی $(1+m)^{-1} = 1 - m + m^{2} - \cdots$ (یک مجموع متناهی) وارون‌پذیر است. بدون جابه‌جا شدن، این استدلال فرو می‌ریزد: در $M_2(\mathbb{R})$ بگیرید $u = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \ (\det = -1,\ \text{invertible}), \qquad n = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \ (n^{2} = 0).$ آنگاه $u + n = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad \det(u+n) = 0,$ که وارون‌پذیر نیست. پس این گزاره همواره درست نیست.

نکتهٔ کنکوری: «همواره صحیح» یعنی ادعا باید در برابر مثال‌های ناجابه‌جایی و زیرحلقهٔ غیریکدار هم دوام بیاورد. دو کارخانهٔ مثال نقض جهانی را آماده نگه دارید: $M_2(F)$ (که «مرکز ایده‌آل است» و «یکه + پوچ‌توان» را رد می‌کند) و $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ (که $1_S = 1_R$ را رد می‌کند). تنها گزاره‌ای که اثباتش به هیچ فرض اضافی نیاز ندارد، همان گزارهٔ مبتنی بر اصل لانهٔ کبوتری/متناهی‌بودن است.