سوال ۹۱ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰

واقعیت‌های کلیدی

۱. عناصر پوچ‌توان در حلقهٔ حاصل‌ضرب. در $R\times S$ داریم $(r,s)^{n}=(r^{n},s^{n})$، پس $\mathcal{N}(R\times S)=\mathcal{N}(R)\times\mathcal{N}(S),$ که در آن $\mathcal{N}$ مجموعهٔ عناصر پوچ‌توان (نیل‌رادیکال، که در حلقهٔ جابه‌جایی یک ایدئال است) را نشان می‌دهد. بنابراین تعدادها در هم ضرب می‌شوند.

۲. عناصر پوچ‌توان در $\mathbb{Z}_n$. بنویسید $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ و قرار دهید $\operatorname{rad}(n)=p_1p_2\cdots p_k$ (رادیکال، یعنی حاصل‌ضرب عوامل اول متمایز). آنگاه $\bar{x}^{\,m}\equiv 0 \pmod n \text{ for some } m\ \Longleftrightarrow\ \operatorname{rad}(n)\mid x .$ در واقع $n\mid x^{m}$ ایجاب می‌کند که هر $p_i$ عدد $x$ را بشمارد؛ برعکس، اگر $\operatorname{rad}(n)\mid x$ باشد آنگاه $x^{\max a_i}$ بر $n$ بخش‌پذیر است. بنابراین $\mathcal{N}(\mathbb{Z}_n)=\operatorname{rad}(n)\mathbb{Z}_n,\qquad \lvert\mathcal{N}(\mathbb{Z}_n)\rvert=\frac{n}{\operatorname{rad}(n)} .$

به‌کارگیری

عامل $\mathbb{Z}_{24}$: $24=2^{3}\cdot 3$، پس $\operatorname{rad}(24)=2\cdot 3=6$ و $\mathcal{N}(\mathbb{Z}_{24})=\{0,6,12,18\},\qquad \lvert\mathcal{N}(\mathbb{Z}_{24})\rvert=\frac{24}{6}=4 .$ وارسی: $6^{2}=36\equiv 12$، $6^{3}=216=9\cdot 24\equiv 0 \pmod{24}$. ✔

عامل $\mathbb{Z}_{9}$: $9=3^{2}$، پس $\operatorname{rad}(9)=3$ و $\mathcal{N}(\mathbb{Z}_{9})=\{0,3,6\},\qquad \lvert\mathcal{N}(\mathbb{Z}_{9})\rvert=\frac{9}{3}=3 .$ وارسی: $3^{2}=9\equiv 0$، $6^{2}=36\equiv 0 \pmod 9$. ✔

ضرب کردن: $\lvert\mathcal{N}(\mathbb{Z}_{24}\times\mathbb{Z}_{9})\rvert=4\cdot 3=12 .$

پس پاسخ گزینهٔ ۴ است.

وارسی متقابل با قضیهٔ باقیماندهٔ چینی

بنا بر قضیهٔ باقیماندهٔ چینی $\mathbb{Z}_{24}\cong\mathbb{Z}_{8}\times\mathbb{Z}_{3}$، پس $\mathbb{Z}_{24}\times\mathbb{Z}_{9}\cong\mathbb{Z}_{8}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{9}.$ تعداد عناصر پوچ‌توان: $8/2=4$ در $\mathbb{Z}_8$، $3/3=1$ (تنها $0$) در میدان $\mathbb{Z}_3$، و $9/3=3$ در $\mathbb{Z}_9$، که $4\cdot 1\cdot 3=12$ می‌دهد — همان عدد.

نکتهٔ کنکوری: در $\mathbb{Z}_n$ تعداد عناصر پوچ‌توان دقیقاً $n/\operatorname{rad}(n)$ است، یعنی تعداد مضرب‌های هستهٔ خالی از مربع $n$؛ و برای یک حاصل‌ضرب متناهی، تعدادها به‌سادگی در هم ضرب می‌شوند، زیرا یک چندتایی پوچ‌توان است اگر و تنها اگر هر مؤلفهٔ آن پوچ‌توان باشد.

تلهٔ رایج: عناصر پوچ‌توان را با مقسوم‌علیه‌های صفر اشتباه نگیرید. $\mathbb{Z}_{24}$ مقسوم‌علیه‌های صفر فراوانی دارد (مثلاً $8\cdot 3=0$ اما $8$ پوچ‌توان نیست، چون $8=2^3$ عامل اول $3$ را ندارد)، و در حلقهٔ حاصل‌ضرب، $(1,0)$ مقسوم‌علیه صفر است ولی پوچ‌توان نیست — شمردن مقسوم‌علیه‌های صفر در اینجا عددی به‌مراتب بزرگ‌تر می‌داد.