سوال ۷۹ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲ — فرض کنید دنبالهٔ f_n بر [0,2π] یکنواخت همگرا به صفر باشد و به‌ازای هر…

Question

فرض کنید دنبالهٔ f_n بر [0,2π] یکنواخت همگرا به صفر باشد و به‌ازای هر x∈[0,2π] دنبالهٔ f_n(x) نزولی باشد. کدام گزینه درمورد سری ∑_(n=1)^(∞) f_n(x)sin nx درست است؟

Accepted Answer

به ازای هر 0<δ<π سری بر بازهٔ [δ,2π-δ] یکنواخت همگرا است ولی ممکن است سری بر بازهٔ [0,2π] یکنواخت همگرا نباشد.

Answer

درحالتی‌که f_n(x)=dfrac 1 n^2 ، سری بر [0,2π] نقطه‌ای همگراست ولی یکنواخت همگرا نیست.

Answer

سری در هیچ بازهٔ فشرده‌ای از بازهٔ باز (0,2π) یکنواخت همگرا نیست.

Answer

سری در برخی از نقاط بازهٔ [0,2π] همگرا نیست.

آماده‌سازی