سوال ۸۰ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲ — فرض کنید به ازای هر n ∈ N ، f_n : [0, ∞) → R تابعی انتگرال‌پذیر باشد…

Question

فرض کنید به ازای هر n ∈ N ، f_n : [0, ∞) → R تابعی انتگرال‌پذیر باشد و F_n : [0, ∞) → R با ضابطهٔ F_n(x) = ∫_0^x f_n(t) dt تعریف شود. اگر دنبالهٔ f_n همگرای یکنواخت باشد، کدام گزینه درست است؟

Accepted Answer

دنبالهٔ F_n بر هر زیرمجموعه کراندار [0, ∞) همگرای یکنواخت است ولی بر [0, ∞) لزوماً همگرای یکنواخت نیست.

Answer

دنبالهٔ F_n بر [0, ∞) یکنواخت کراندار است.

Answer

درصورت وجود حدود، limlimits_(x→∞)limlimits_(n→∞) F_n(x) = limlimits_(n→∞)limlimits_(x→∞) F_n(x) .

Answer

به ازای هر n ∈ N ، F_n مشتق‌پذیر است و به ازای هر x ، limlimits_(n→∞) F_n'(x) = limlimits_(n→∞) f_n(x) .