سوال ۷۳ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱

محاسبهٔ کلیدی: صورت بستهٔ $f_n'$

با قاعدهٔ ضرب از $f_n(x)=e^{-nx}\left(x+\tfrac1n\right)$ مشتق می‌گیریم:

$f_n'(x) = -n e^{-nx}\left(x+\frac1n\right) + e^{-nx}\cdot 1 = e^{-nx}\left(-nx-1+1\right) = -\,n x\, e^{-nx}.$

جملهٔ $\tfrac1n$ داخل پرانتز دقیقاً چنان طراحی شده که جملهٔ ثابت را حذف کند؛ بنابراین مسئله به خانوادهٔ کلاسیک برآمدگی متحرک فروکاسته می‌شود:

$|f_n'(x)| = n x\, e^{-nx}, \qquad x\in[0,1].$

نُرم سوپریمم $f_n'$: برآمدگی هرگز پهن و کوتاه نمی‌شود

قرار می‌دهیم $t=nx$. وقتی $x$ روی $[0,1]$ تغییر می‌کند، $t$ روی $[0,n]$ تغییر می‌کند و $|f_n'| = t e^{-t} =: g(t)$. چون $g'(t)=(1-t)e^{-t}$، تابع $g$ روی $[0,1]$ صعودی و روی $[1,\infty)$ نزولی است و بیشینهٔ آن $g(1)=e^{-1}$ است. برای هر $n\ge 1$ مقدار $t=1$ اختیار می‌شود (در $x=1/n\in[0,1]$)، پس

$\left\|f_n'\right\|_\infty = \sup_{x\in[0,1]} \left|f_n'(x)\right| = \left|f_n'\!\left(\tfrac1n\right)\right| = \frac{1}{e}\qquad\text{for all } n\ge 1.$

دو نتیجه:

• کران‌داری یکنواخت: $|f_n'(x)|\le 1/e$ برای هر $n$ و هر $x\in[0,1]$ — کرانی مستقل از $n$.
• همگرایی یکنواخت به $0$ برقرار نیست: $\|f_n'-0\|_\infty = 1/e \not\to 0$. برآمدگی ارتفاع $1/e$ خود را حفظ می‌کند و تنها به سمت $x=0$ می‌لغزد (قلهٔ آن در $x=1/n$ قرار دارد).

حد نقطه‌ای $f_n'$

فرض کنید $x\in(0,1]$ ثابت باشد. آنگاه $nx\to\infty$ و چون $t e^{-t}\to 0$ وقتی $t\to\infty$، داریم

$\lim_{n\to\infty} f_n'(x) = -\lim_{n\to\infty} (nx)e^{-nx} = 0 .$

در $x=0$ نیز برای هر $n$ داریم $f_n'(0)=0$. بنابراین $f_n'\to 0$ به‌طور نقطه‌ای روی تمام $[0,1]$ — اما فقط نقطه‌ای.

رفتار خودِ $f_n$

چون $f_n'(x)=-nxe^{-nx}\le 0$ روی $[0,1]$، هر $f_n$ ناصعودی است و آشکارا $f_n>0$. پس

$0 < f_n(x) \le f_n(0) = \frac1n \qquad (x\in[0,1]),$

و در نتیجه $\|f_n\|_\infty = 1/n \to 0$: دنبالهٔ $\{f_n\}$ به‌طور یکنواخت کران‌دار است (با کران $1$) و به‌طور یکنواخت به $0$ همگراست.

داوری دربارهٔ گزینه‌ها

پرسش گزارهٔ نادرست را می‌خواهد، پس پاسخ گزینهٔ ۱ است، هم‌سو با کلید رسمی.

نکتهٔ کنکوری: همگرایی یکنواخت $f_n\to f$ الزام نمی‌کند که $f_n'\to f'$ یکنواخت باشد — عمل مشتق‌گیری نسبت به نُرم سوپریمم پیوسته نیست. این مثال، شاهد کتاب‌درسی همین موضوع است: $f_n\to 0$ به‌طور یکنواخت روی $[0,1]$، در حالی که $f_n'(x)=-nxe^{-nx}$ برآمدگی‌ای با ارتفاع ثابت $1/e$ دارد که به چپ می‌لغزد. همواره $\sup_x|f_n'(x)|$ را با تعویض متغیر $t=nx$ حساب کنید: اگر متغیر مقیاس‌شده هنوز بتواند به نقطهٔ بیشینه‌سازِ پروفایل برسد، نُرم سوپریمم نسبت به $n$ ثابت می‌ماند و همگرایی یکنواخت شکست می‌خورد.