سوال ۷۲ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱

زمینهٔ مسئله. $Y\subseteq X$ متر تحدیدشدهٔ $d_Y=d|_{Y\times Y}$ را حمل می‌کند که توپولوژی القایی آن دقیقاً همان توپولوژی زیرفضایی است: مجموعه‌های باز $Y$ دقیقاً همان مجموعه‌های $U\cap Y$ هستند که در آن $U$ در $X$ باز است (و مجموعه‌های بستهٔ $Y$ به شکل $F\cap Y$ هستند که در آن $F$ در $X$ بسته است). تمام پرسش این است: کدام ویژگی‌ها مطلق (ذاتیِ خود مجموعه) هستند و کدام‌یک تنها نسبت به فضای محیط معنا دارند؟

گزینهٔ ۱ یک قضیه است: فشردگی مطلق است

ادعا. اگر $K\subseteq Y$ به عنوان زیرفضایی از $Y$ فشرده باشد، آن‌گاه $K$ به عنوان زیرفضایی از $X$ نیز فشرده است.

اثبات. فرض کنید $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ پوششی از $K$ با مجموعه‌های باز در $X$ باشد. آن‌گاه هر $U_\alpha\cap Y$ در $Y$ باز است و $K\;=\;K\cap Y\;\subseteq\;\Big(\bigcup_{\alpha} U_\alpha\Big)\cap Y\;=\;\bigcup_{\alpha}\,(U_\alpha\cap Y),$ پس $\{U_\alpha\cap Y\}$ یک پوشش باز برای $K$ در $Y$ است. بنا بر فشردگی در $Y$، اندیس‌های $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ وجود دارند به‌طوری‌که $K\subseteq\bigcup_{i=1}^{n}(U_{\alpha_i}\cap Y)\subseteq\bigcup_{i=1}^{n}U_{\alpha_i}$. بنابراین هر پوشش بازِ $X$-ی از $K$ زیرپوشش متناهی دارد، یعنی $K$ در $X$ فشرده است. $\blacksquare$

(عکس این حکم نیز به همین سادگی برقرار است، پس فشردگی $K$ تنها به فضای متریک $(K,d|_K)$ بستگی دارد، نه به اینکه $K$ کجا نشسته باشد. صورت متریک: $K$ فشرده است اگر و تنها اگر هر دنباله در $K$ زیردنباله‌ای داشته باشد که به نقطه‌ای از $K$ همگرا شود — حکمی که هرگز نامی از فضای محیط نمی‌برد.)

سه گزینهٔ دیگر نادرست‌اند — مثال‌های نقض صریح

گزینهٔ ۲ (بازبودن تنها نسبی است). بگیرید $X=\mathbb{R}$ و $Y=[0,2)$. مجموعهٔ $[0,1)=(-1,1)\cap Y$ در $Y$ باز است، اما $[0,1)$ در $\mathbb{R}$ باز نیست (هیچ گویی حول $0$ درون آن قرار نمی‌گیرد). بازبودن در $Y$ تنها وقتی به $X$ منتقل می‌شود که خودِ $Y$ در $X$ باز باشد.

گزینهٔ ۳ (بستگی تنها نسبی است). بگیرید $X=\mathbb{R}$ و $Y=(0,1)$. مجموعهٔ $F=\left(0,\tfrac12\right]=\left[-1,\tfrac12\right]\cap Y$ در $Y$ بسته است، اما بستار آن در $\mathbb{R}$ برابر $\left[0,\tfrac12\right]\neq F$ است، پس $F$ در $X$ بسته نیست. بسته‌بودن در $Y$ تنها وقتی به $X$ منتقل می‌شود که $Y$ در $X$ بسته باشد.

گزینهٔ ۴ (هاینه–بورل بیرون از $\mathbb{R}^n$ برقرار نیست). بگیرید $X=\mathbb{R}$ و $Y=\mathbb{Q}$، و قرار دهید $A=\{q\in\mathbb{Q}\;:\;0\le q\le 1\}=[0,1]\cap\mathbb{Q}.$ آن‌گاه $A$ در $Y=\mathbb{Q}$ بسته و کران‌دار است، با این حال فشرده نیست: دنبالهٔ اعداد گویای صعودی به عدد گنگ $\tfrac{1}{\sqrt2}$ هیچ زیردنباله‌ای ندارد که درون $A$ همگرا شود — هم‌ارز با آنکه پوشش باز $\Big\{\,\big(-1,\tfrac{1}{\sqrt2}-\tfrac1n\big)\cup\big(\tfrac{1}{\sqrt2}+\tfrac1n,\,2\big)\;:\;n\in\mathbb{N}\Big\}$ هیچ زیرپوشش متناهی برای $A$ ندارد. «بسته + کران‌دار $\Rightarrow$ فشرده» همان قضیهٔ هاینه–بورل است که تنها در $\mathbb{R}^n$ اعتبار دارد؛ در یک فضای متریک کلی، معیار درست کامل + تماماً کران‌دار است. (یک نقض کلاسیک‌تر: گوی واحد بستهٔ $\ell^2$ بسته و کران‌دار است ولی فشرده نیست، زیرا $\|e_n-e_m\|=\sqrt2$.)

نتیجه‌گیری: تنها حکم ۱ برقرار است — گزینهٔ ۱.

نکتهٔ کنکوری: هر ویژگی را مطلق یا نسبی دسته‌بندی کنید. فشردگی (و همبندی، کامل‌بودن، تماماً کران‌داری) مطلق است — ویژگیِ خودِ فضای متریک $(K,d|_K)$ است. بازبودن و بسته‌بودن نسبیاند: همیشه به عبارت «نسبت به کدام فضا؟» نیاز دارند. و هرگز قضیهٔ هاینه–بورل را به یک فضای متریک نااقلیدسی وارد نکنید.