سوال ۷۵ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱ — فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع نامنفی و پیوسته بر R باشد که به‌ازای…

Question

فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع نامنفی و پیوسته بر R باشد که به‌ازای هر x ∈ R ، ∑_(n=1)^(∞) f_n(x) = 1 . کدام گزینه درست است؟

Accepted Answer

همگرایی ∑ f_n بر هر بازه کراندار، یکنواخت است و شرط کرانداری بازه ضروری است.

Answer

بر هیچ زیرمجموعهٔ نامتناهی R ، نمی‌توان همگرایی یکنواخت ∑ f_n را نتیجه گرفت.

Answer

همگرایی ∑ f_n بر هر زیرمجموعه بسته R ، یکنواخت است و شرط بسته بودن ضروری است.

Answer

همگرایی ∑ f_n بر هر زیرمجموعه حداکثر شمارای R یکنواخت است و شرط شمارا بودن ضروری است.

صورت‌بندی مسئله: این همان قضیهٔ دینی است در لباسی دیگر