سوال ۲۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

تشکیل نسبت تفاضلی

فرض می‌کنیم $f$ در معادلهٔ تابعی $f(x+y)=f(x)-f(y)+xy(x+y)$ صدق می‌کند و $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=1$.

نخست توجه کنید که $f(0)=0$: با قرار دادن $x=y=0$ به‌دست می‌آید $f(0)=f(0)-f(0)+0$، یعنی $f(0)=0$.

محاسبهٔ $f'(x)$ مستقیماً از تعریف

معادلهٔ تابعی را با $y=h$ به‌کار می‌بریم: $f(x+h)=f(x)-f(h)+xh(x+h).$ پس $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=-\frac{f(h)}{h}+x(x+h).$

اکنون حد $h\to 0$ را می‌گیریم. از آنجا که $\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h)}{h}=1$ (همان حد داده‌شده، با $f(0)=0$) و $x(x+h)\to x^{2}$، داریم $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=-1+x^{2}=x^{2}-1.$

محاسبهٔ مجموع

$\sum_{k=11}^{17} f'(k)=\sum_{k=11}^{17}\left(k^{2}-1\right)=\left(\sum_{k=11}^{17}k^{2}\right)-7.$

مجذورها عبارت‌اند از $121+144+169+196+225+256+289=1400,$ پس $\sum_{k=11}^{17} f'(k)=1400-7=1393.$

این همان گزینهٔ ۴ است.

نکتهٔ کنکوری: سعی نکنید برای $f$ صورت بستهٔ صریح پیدا کنید. جای‌گذاری $y=h$ در معادلهٔ تابعی، نسبت تفاضلی را به $-\frac{f(h)}{h}+x(x+h)$ تبدیل می‌کند و حد داده‌شده بی‌درنگ $f'(x)=x^2-1$ را در اختیارتان می‌گذارد.