قرار دهید
f(x)=x201−x+7,x∈R.
گام ۱ — وجود دست‌کم یک ریشهٔ حقیقی (درجهٔ فرد + قضیهٔ مقدار میانی)
f چندجمله‌ای از درجهٔ فرد 201 با ضریب پیشرو مثبت است، پس
limx→−∞f(x)=−∞,limx→+∞f(x)=+∞.
بنا بر قضیهٔ مقدار میانی، f دست‌کم یک ریشهٔ حقیقی دارد.
گام ۲ — یافتن نقاط بحرانی
f′(x)=201x200−1=0⟺x200=2011⟺x=±a,a:=201−1/200.
چون 200 زوج است، برای ∣x∣>a داریم f′(x)>0 و برای ∣x∣<a داریم f′(x)<0. بنابراین f
- روی (−∞,−a] صعودی است،
- روی [−a,a] نزولی است،
- روی [a,+∞) صعودی است،
پس x=−a نقطهٔ ماکزیمم نسبی و x=a نقطهٔ مینیمم نسبی است. توجه کنید که 0<a<1 (در واقع a=e−ln201/200≈0.974).
گام ۳ — مقدار مینیمم نسبی مثبت است
ترفند این است که به‌جای برآورد مستقیم a201، از رابطهٔ نقطهٔ بحرانی a200=2011 استفاده کنیم:
f(a)=a201−a+7=a⋅a200−a+7=201a−a+7=7−201200a.
چون 0<a<1، داریم 201200a<1 و در نتیجه
f(a)>7−1=6>0.
به همین ترتیب برای ماکزیمم نسبی داریم f(−a)=−a201+a+7=7+201200a>0.
گام ۴ — شمارش تقاطع‌ها با محور
| بازه | رفتار f | مقادیر | تعداد ریشه |
|---|
| (−∞,−a] | اکیداً صعودی | از −∞ تا f(−a)>0 | دقیقاً ۱ |
| [−a,a] | اکیداً نزولی | از f(−a)>0 تا f(a)>6 | هیچ (f>0) |
| [a,∞) | اکیداً صعودی | از f(a)>6 تا +∞ | هیچ (f>0) |
روی بازهٔ نخست، f اکیداً یکنوا است و تغییر علامت می‌دهد، پس دقیقاً یک ریشه در آن دارد؛ روی دو بازهٔ دیگر f≥f(a)>0 است و ریشه‌ای وجود ندارد. بنابراین معادله
exactly 1 real root
دارد (و این ریشه در سمت چپ −a قرار دارد، در واقع نزدیک x≈−1.0097).
بررسی سازگاری با قضیهٔ رل: میان هر دو ریشهٔ حقیقی متوالی f باید ریشه‌ای از f′ وجود داشته باشد. چون f′ تنها 2 ریشهٔ حقیقی دارد، f حداکثر می‌توانست 3 ریشهٔ حقیقی داشته باشد — و این علامت مقادیر اکسترمم نسبی است که این 3 را دقیقاً به 1 کاهش می‌دهد.
نکتهٔ کنکوری: هرگز نکوشید a201 را برای a=201−1/200 به‌صورت عددی محاسبه کنید. جایگذاری معادلهٔ نقطهٔ بحرانی 201a200=1، مقدار f(a) را به عبارت سادهٔ 7−201200a تبدیل می‌کند و جملهٔ ثابت 7 (که بسیار بزرگ‌تر از 1 است) بی‌درنگ مینیمم نسبی را بالای محور نگه می‌دارد. به‌طور کلی هر معادلهٔ xn−x+c=0 با n فرد و c>nn−1n−1/(n−1) دقیقاً یک ریشهٔ حقیقی دارد.