سوال ۲۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

صورت‌بندی مسئله

برای $x>0$ کوچک داریم $1-x\in(0,1)$، پس $\cos^{-1}(1-x)$ تعریف‌شده است و $\cos^{-1}(1-x)\to\cos^{-1}(1)=0$ در حالی که $\sqrt{x}\to 0$. بنابراین این خارج‌قسمت یک صورت مبهم واقعی $\tfrac{0}{0}$ است. (تنها حد راست معنا دارد: برای $x<0$، $\sqrt{x}$ روی $\mathbb{R}$ تعریف نشده است — به همین دلیل در کنکور $x\to 0^{+}$ نوشته شده، نه به این خاطر که حد دوطرفه وجود نداشته باشد.)

روش ۱ — تغییر متغیر دقیق (بدون تقریب)

قرار می‌دهیم $y=\cos^{-1}(1-x)\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right),\qquad \cos y=1-x .$ آنگاه بنا بر اتحاد نیم‌کمان $1-\cos y = 2\sin^{2}\!\left(\tfrac{y}{2}\right)$ داریم $x=1-\cos y=2\sin^{2}\!\left(\frac{y}{2}\right),\qquad \sqrt{x}=\sqrt{2}\,\sin\!\left(\frac{y}{2}\right)\quad(\text{positive for } 0<y<\tfrac{\pi}{2}).$ هنگامی که $x\to0^{+}$، داریم $y\to0^{+}$ و $\frac{\cos^{-1}(1-x)}{\sqrt{x}}=\frac{y}{\sqrt{2}\,\sin\!\left(\frac{y}{2}\right)}=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\frac{y}{2}}{\sin\!\left(\frac{y}{2}\right)}\;\xrightarrow[y\to0^{+}]{}\;\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot 1=\sqrt{2},$ که در آن از حد اساسی $\lim_{u\to0}\frac{u}{\sin u}=1$ استفاده کرده‌ایم.

روش ۲ — قاعدهٔ هوپیتال

صورت و مخرج روی $(0,1)$ مشتق‌پذیرند و مشتق مخرج در آنجا هرگز صفر نمی‌شود، پس قاعدهٔ هوپیتال بر این صورت مبهم $\frac{0}{0}$ قابل اعمال است. با استفاده از $\frac{d}{dx}\cos^{-1}(u)=\frac{-u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$ و $u=1-x$، $u'=-1$: $\frac{d}{dx}\cos^{-1}(1-x)=\frac{1}{\sqrt{1-(1-x)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2x-x^{2}}},\qquad \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} .$ بنابراین $\lim_{x\to0^{+}}\frac{\cos^{-1}(1-x)}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{2x-x^{2}}}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\,\sqrt{2-x}}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{2}{\sqrt{2-x}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.$

روش ۳ — مرتبهٔ مجانبی (راه سریع کنکوری)

نزدیک $\theta=0$ داریم $\cos\theta = 1-\frac{\theta^{2}}{2}+O(\theta^{4})$، پس $\theta=\cos^{-1}(1-x)$ در رابطهٔ $x=\frac{\theta^{2}}{2}+O(\theta^{4})$ صدق می‌کند، یعنی $\cos^{-1}(1-x)\sim\sqrt{2x}\qquad(x\to0^{+}).$ بنابراین $\dfrac{\cos^{-1}(1-x)}{\sqrt{x}}\sim\dfrac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x}}=\sqrt{2}$.

پس حد موجود است و برابر $\sqrt{2}$ است — گزینهٔ ۲.

نکتهٔ کنکوری: تابع $\cos^{-1}(1-x)$ مانند $\sqrt{2x}$ رفتار می‌کند، نه مانند مضربی از $x$: کسینوس معکوس در نقطهٔ انتهایی $1$ مماس قائم دارد، پس از مرتبهٔ $\sqrt{x}$ است. تطبیق همین مرتبهٔ جذری با $\sqrt{x}$ مخرج دقیقاً دلیل متناهی و ناصفر بودن جواب است. رسیدن به $\frac{\sqrt{2}}{2}$ یعنی ضریب $2$ برخاسته از $1-\cos\theta\approx\frac{\theta^{2}}{2}$ وارونه گرفته شده است؛ گزینهٔ «وجود ندارد» تلهٔ کسی است که صورت را از مرتبهٔ $O(x)$ (حد $0$) یا از مرتبهٔ $O(1)$ (حد $+\infty$) بپندارد.