سوال ۲۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۲

روش: تجزیهٔ مخرج و سپس تلسکوپی‌کردن

تمام مسئله حول یک اتحاد جبری طراحی شده است. مخرج را تجزیه می‌کنیم:

$n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}=\sqrt{n}\,\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right),$

زیرا $n\sqrt{n+1}=\sqrt{n}\sqrt{n}\sqrt{n+1}$ و $(n+1)\sqrt{n}=\sqrt{n}\sqrt{n+1}\sqrt{n+1}$.

گویا کردن مخرج

صورت و مخرج را در مزدوج $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ ضرب می‌کنیم و از تساوی $\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=1$ استفاده می‌کنیم:

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}.$

تلسکوپی شدن مجموع‌های جزئی

$S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}.$

همهٔ جمله‌های میانی دو‌به‌دو حذف می‌شوند. بنابراین

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}}=\lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right)=1.$

پس سری همگراست و مجموع آن دقیقاً برابر $1$ است — گزینهٔ ۲.

وارسی درستی

• همگرایی بدون استفاده از ترفند. وقتی $n\to\infty$ داریم $a_n\sim \dfrac{1}{2n^{3/2}}$، و $\sum n^{-3/2}$ یک سری $p$ همگرا با $p=\tfrac32>1$ است؛ پس بنا بر آزمون مقایسهٔ حدی، سری همگراست. همین نکته گزینهٔ ۴ را حذف می‌کند.
• بررسی عددی. $a_1=\frac{1}{\sqrt2+2}\approx 0.2929=1-\tfrac{1}{\sqrt2}$، $S_2=1-\tfrac{1}{\sqrt3}\approx0.4226$، $S_{10}=1-\tfrac{1}{\sqrt{11}}\approx0.6985$ — یعنی به‌طور صعودی به $1$ نزدیک می‌شود، هرگز به $\sqrt2\approx1.414$ (گزینهٔ ۳) نمی‌رسد و از $\tfrac{\sqrt2}{2}\approx0.707$ (گزینهٔ ۱) عبور می‌کند.

نکتهٔ کنکوری: هرگاه مخرجی به شکل $n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}$ (یا $n\sqrt{n+1}-\ldots$، $\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$، $n(n+1)$ و …) دیدید، سراغ آزمون‌های همگرایی نروید — از مخرج $\sqrt{n}\sqrt{n+1}$ فاکتور بگیرید و گویا کنید. جملهٔ عمومی به تفاضل $b_n-b_{n+1}$ فرو می‌ریزد و مجموع دقیق فقط $b_1$ است (اینجا $b_n=1/\sqrt{n}$، پس مجموع برابر $b_1=1$ است). آزمون همگرایی به‌تنهایی تنها گزینهٔ ۴ را کنار می‌گذارد و سه عدد برای حدس‌زدن باقی می‌گذارد.

تلهٔ رایج: تله‌هایی از جنس $\frac{\sqrt2}{2}=1-a_1$: مقدار $\tfrac{\sqrt2}{2}=\tfrac{1}{\sqrt2}$ در واقع همان مقدار دنبالهٔ باقی‌مانده یعنی $\lim_{N}\tfrac{1}{\sqrt{N+1}}$ با اندیس‌گذاری نادرست است؛ یعنی چیزی که به دست می‌آورید اگر تلسکوپ را به‌جای $n=1$ از $n=2$ شروع کنید یا علامت $-$ را فراموش کنید. همیشه پیش از حدگیری، $S_N$ را صریحاً محاسبه کنید.