سوال ۳۱ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۱

آنچه دامنه ایجاب می‌کند

برای آنکه $f(x)=\log\dfrac{2-x}{x-\sqrt{x^{2}-2x+2}}$ تعریف شده باشد، به سه شرط نیاز داریم:

1. زیرِ رادیکال $x^{2}-2x+2\ge 0$ باشد،
2. مخرج $x-\sqrt{x^{2}-2x+2}\neq 0$ باشد،
3. عبارت داخل لگاریتم اکیداً مثبت باشد.

گام ۱ — رادیکال همه‌جا تعریف شده است

با مربع کامل کردن: $x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1\ \ge\ 1>0\qquad\text{for all }x\in\mathbb{R}.$ پس $\sqrt{x^{2}-2x+2}$ روی تمام $\mathbb{R}$ تعریف شده (و $\ge 1$) است؛ بنابراین شرط ۱ هیچ محدودیتی ایجاد نمی‌کند. قرار می‌دهیم $r(x)=\sqrt{(x-1)^{2}+1}>0$.

گام ۲ — علامت مخرج $D(x)=x-r(x)$

چون $r(x)>0$، نامساوی $x>r(x)$ ایجاب می‌کند که $x>0$؛ و برای $x>0$ می‌توان دو طرف را (که هر دو مثبت‌اند) به توان دو رساند و این کار هم‌ارزی است: $x>r(x)\iff x>0\ \text{and}\ x^{2}>x^{2}-2x+2\iff x>0\ \text{and}\ 2x>2\iff x>1 .$ همین محاسبه با تساوی نشان می‌دهد $D(x)=0\iff x=1$ (در واقع $1-\sqrt{1}=0$). بنابراین $D(x)>0\ \text{for } x>1,\qquad D(1)=0,\qquad D(x)<0\ \text{for } x<1 .$

گام ۳ — مثبت بودن عبارت داخل لگاریتم

باید $\dfrac{2-x}{D(x)}>0$ باشد، یعنی صورت و مخرج هم‌علامت باشند.

حالت $x>2$ مستلزم $D(x)<0$ یعنی $x<1$ است — که ناممکن است؛ پس این حالت واقعاً تهی است.

نتیجه

$\operatorname{dom}(f)=\{x:\ 1<x<2\}=(1,2),$ که همان گزینهٔ ۲ است. (سازگار با این نتیجه: وقتی $x\to 1^{+}$، مخرج به $0^{+}$ میل می‌کند و $f(x)\to+\infty$؛ و وقتی $x\to 2^{-}$، صورت به $0^{+}$ میل می‌کند و $f(x)\to-\infty$؛ پس هر دو نقطهٔ انتهایی باید حذف شوند.)

نکتهٔ کنکوری: هرگز $x>\sqrt{Q}$ را کورکورانه به توان دو نرسانید — به توان دو رساندن تنها زمانی هم‌ارزی است که شرط پنهان $x\ge 0$ را ثبت کرده باشید. اینجا همین شرط پنهان است که تمام نیم‌خط $x\le 0$ را حذف می‌کند و پاسخ وسوسه‌انگیز $(0,2)$ را به پاسخ درست $(1,2)$ تبدیل می‌کند.